ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Исследование уравнений из "Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений " Представители подчиняются также условиям на бесконечности. В момент фокусировки t = О скорость, давление, скорость звука на любом конечном радиусе г ограничены. Но при i = О и конечном г = оо. [c.621] Однако исследование уравнений, о котором речь пойдет в следуюш ем параграфе, показывает, что получить однозначное решение и прийти в точку (12.18) нельзя при произвольном значении а. Это оказывается возможным только при некотором избранном значении а, что и определяет выбор показателя автомодельности. [c.621] Покажем, как находится показатель автомодельности при решении уравнений (12.15). Для этой цели следует прежде всего произвести исследование уравнений. Мы не будем здесь стремиться к математической строгости обоснований и приводить подробные выкладки. [c.621] Остановимся только на наиболее важных принципиальных моментах, а также наметим основные пути решения задачи. При этом мы постараемся подчеркнуть некоторые особенности задачи, обш ие либо для всех автомодельных решений, либо для решений второго типа. Ниже мы следуем системе изложения, предложенной Н. А. Поповым, которому мы благодарны за ценные советы. [c.621] Детерминанты А , Аг, Аз получаются после замены соответствующих столбцов в детерминанте (12.20) правыми частями уравнений (12.15). [c.622] После того как найдено решение этого уравнения Z (V), его можно-подставить в первое уравнение (12.19) и путем квадратуры определить функцию V (I), а затем, подставляя V ж X IF ( )] во второе уравнение, путем квадратуры найти функцию ( ). [c.622] основная задача сводится к решению уравнения (12.21) с граничными условиями (2.17), (2.18). [c.623] Рассмотрим, как проходит искомая интегральная кривая на плоскости V, Z. На фронте ударной волны при = 1 V = V (1), Z = Z (1) (см. формулы (2.17)). Нанесем эту точку на плоскость и обозначим ее буквой Ф. На бесконечности, при = оо F (оо) = О, Z (оо) = О, т. е. интегральная кривая Z (F) идет из точки Ф в начало координат О (рис. 12.1). [c.623] О 1п оо в истинном решении нигде не должны обращаться в нуль. [c.623] Но детерминант А = — Z - - (F — а) равен нулю на параболе Z = (F — а) , проведенной на плоскости F, Z (рис. 12.1). [c.623] Легко проверить путем непосредственного вычисления, что точка Ф лежит выше параболы, т. е. искомая интегральная кривая вдоль своего пути от точки Ф до точки О непременно должна пересечь параболу. Чтобы при этом производные d 1п l/dV и d 1п /dZ не обратились в нуль, необходимо, чтобы в точк пересечения обращались в нуль определители Aj и А3 (можно проверить, что при А = О Al и Аз обращаются в нуль одновременно). Таким образом, точка пересечения истинной интегральной кривой Z (F) и параболы есть особая точка уравнения (12.21) (Aj = О, А3 = О, dZ/dV = 0/0). [c.623] Если задаться каким-то произвольным значением показателя автомодельности а и начать интегрировать уравнение (12.21) от точки Ф. то интегральная кривая либо вообще не пересечет параболу, либо пересечет ее в какой-то обыкновенной точке, и эта кривая не будет отвечать истинному решению. [c.623] Исключая из этих двух равенств d In /(F — а) и собирая все члены в одну сторону, получим уравнение вида d In G, V Z = О, которое дает интеграл G, V, Z) = = onst. Константа определяется с помощью граничного условия (12.17). [c.623] Вернуться к основной статье