ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Стохастическое разрушение связанного состояния атомов с полем излучения из "Стохастичность динамических систем " Общая постановка задачи о распределении энергетических уровней может быть теперь строго сформулирована, исходя и правил квантования (4.4) или их приближенного аналога (4.6). Рассмотрим величину Зс Е), равную действию на некоторой замкнутой (или почти замкнутой) траектории (орбите). Траектория С принадлежит множеству замкнутых траекторий, которое достаточно хорошо представляет полный ансамбль всех замкнутых траекторий. Величина Зс Е) является случайной величиной на множестве траекторий С. Она зависит от Е как от параметра. Нас, однако, интересуют не все значения Е, а лишь те, которые являются корнями уравнения (4.5). Нашей ближайшей задачей будет определение закона распределения расстояний между соседними корнями АЕк = Ен+1 — Ек, которые расположены в порядке возрастания. [c.225] Введем понятие типичного цикла , т. е. такой замкнутой (или близкой к ней) траектории, в окрестности которой сосредоточена функция распределения всех периодических траекторий. Поскольку нас будет интересовать область больших значеншх энергии, то это соответствует большим значениям 8. Например, в биллиардных задачах 8 Кроме того, большим значениям 8 должны соответствовать и большие номера т в формуле (4.5). [c.226] Этой величине соответствует типичное время цикла т, которо оценивается с помощью формулы (5.2). Существование времени т будет иметь для нас фундаментальное значение. С ним связана также типичная длпна I одного цикла. [c.226] Действительно, вид траектории зависит от энергии Е как от параметра. Зафиксируем типичный цикл , соответствующий энергии Е, и возмутим теперь в нем паралхетр Е на малую величину АЕ. Поскольку типичному циклу соответствует, как уже отмечалось, некоторое типичное время цикла т, то возникает следующий вопрос как прп сколь угодно малых возмущениях параметра траектории (АЕ - 0) получить на конечном интервале времени ( т) конечное изменение действия 2я Ясно,, например, что это невозмоншо в случае устойчивых траекторий, так как изменение действия Д5 прп переходе от значения энергии Е Е + АЕ должно стремиться к нулю при АЕ О и никаким образом нельзя удовлетворить неравенству (5.5). Существенную роль в устойчивом (не стохастическом) случае играет также то обстоятельство, что время цикла т(Е) однозначно определено. Уже из приведенных рассуждений ясно, почему расталкивание уровней должно быть сильнее в устойчивом случае (т. е. при существовании полного набора интегралов движения), чем в неустойчивом (стохастическом) случае, где время циклов т( ) распределено случайным образом (см. формулу (5.1)) и, кроме типичных циклов с типичным временем возврата т, есть любые нетипичные циклы с произвольными % Е). Поэтому чем сильнее неустойчивость траектории относительно малых возмущений ее параметров, тем слабее расталкивание уровней. [c.227] при АЕ - О нельзя подобрать типичный цикл с энергией Е + АЕ такой, чтобы удовлетворить неравенству (5.5). Однако условие (5.5) можно выполнить, если цикл с энергией. Е + АЕ является нетипичным (т. е. маловероятным). Рассмотрим, как это происходит. [c.227] Теперь заметим, что действие на траектории е энергией Е + АЕ никогда не сможет отличаться на конечную величину 2п% от действия на траектории с энергией Е, если только эти траектории не станут статистически независимы. Действительно, на временах, меньших времени развития стохастической неустойчивости, изменение действия из-за возмущения малб, и неравенству (5.5) яельзя удовлетворить при АЕ - 0. Наоборот, действия статистически независимых траекторий могут отличаться с не равной нулю вероятностью на произвольную величину. [c.228] Через время N0 две траектории, начальные условия которых от-личалйсь на малую величину б о, разойдутся настолько, что станут статистически независимы. [c.228] Величина onst в формуле (5.12) может зависеть от Е. Для ее вычисления необходимы не только более строгие методы, но и большая детализация модели. Для скользящих электронов, например, получено [73] onst 1/2. [c.229] Формула (5.12) имеет простую физическую интерпретацию. С ростом К (т. е. с ростом энтропии Колмогорова К) показатель степени в (5.12) уменьшается и расталкивание уровней становится слабее. При К- -оо (fe- oo) вероятность Р(Е АЕ) перестает зависеть от АЕ и расталкивание уровней исчезает. Это связано с тем, что чем больше К, тем быстрее происходит стохастизация траекторий, т. е. тем сильнее локальная неустойчивость и корреляция между собственными значениями ослабевает. В пределе, когда время стохастизации траекторий стремится к нулю (Я - о°), корреляция уровней исчезает. Такая система становится очень рыхлой . В ней разрушены какие-либо свойства симметрии, и именно с этим связано исчезновение корреляций любого типа. [c.229] В теории Вигнера — Портера — Дайсона = 0, 1, 3 0 для ансамблей соответственно с а=1, 2, 4, Однако пз (5.15) следует, что р уменьшается с ростом k, и, начиная с некоторого значения энергии, может оказаться, что 0. Тогда при 0 и 1Д - -О величина Р - , в то время как в теории Вигнера — Портера — Дайсона всегда Р onst О, так как р 0. [c.230] Условие (5.17) означает, что типичные циклы, соответствующие энергиям Е и Е + АЕ, фактически являются статистически независимыми. [c.230] Таким образом, асимптотика распределения расстояний между соседними уровнями Р Е АЕ) при больших АЕ имеет гауссовский вид, однако, в отличив от формулы (1.16), здесь параметры распределения также определяются динамическими характеристиками системы. [c.232] Задача о распределении энергетических уровней в квантовых Я-системах является в действительности частью более общей проблемы асимптотики распределения собственных значений. Остановимся на одной простой иллюстрации этой проблемы. [c.232] Однако величина ШЕ) в (6.5), или N(K), является очень грубой характеристикой распределения собственных значений. Более тоикой характеристикой является распределение расстояний между ближайшими собственными значениями. Определение асимптотических формул для функции распределения расстояний между соседними собственными значениями наталкивается на серьезные трудности. Анализ, проведенный в 12.5, позволяет не только понять причины этих трудностей, но и определить путь, на котором следует искать решение. [c.233] Все дело в том, что распределение расстояний между собственными значениями оказывается очень чувствительным к определенным свойствам потенциала V (или i ) и к форме границы 9. [c.233] Эти свойства проще всего сформулировать на языке динамической задачи, соответствующей уравненпям (б.З) или (6.1). Действительно, асимптотические решения этпх уравнений для больших номеров собственных функций и собственных значений определенным образом выражаются через решения задачи о классической динамике частицы с гамильтонианом Н. Поскольку качественные свойства классических траекторий резко меняются, то должны изменяться и свойства функций распределения расстояний между уровнями. Заметим, что достаточно, например, в квадрате слегка изогнуть одну из его стенок так, чтобы она стала рассеивающей, как классические траектории частицы в таком биллиарде становятся стохастическими. При этом происходит сильная перестройка функции распределения расстояний между уровнями. Однако число состояний Л (Х) прп этом изменяется незначительно или не изменится вовсе. [c.234] То обстоятельство, что спектр собственных значений может быть распределен квазислучайным образом, показывает, что соответствующую функцию распределения следует искать в классе совсем иных понятий, чем это делается в случае регулярного (не случайного) распределения собственных значений. [c.234] Можно высказать следующее предположение. Оно основано на том, что классическая динамическая задача, которая сопоставляется граничной задаче типа (6.1) плп (6.3), в случае общего положения является неинтегрируемой. Поэтому распределение собственных значений в случае общего положения является квазислучайным. Отсюда, в частности, следует, что не может существовать в общем случае выражения для числа состояний N(Ю в виде ряда, например, по степеням 1Ар (р 0). Это утверждение связано с тем, что, начиная с некоторого порядка, соответствующий член ряда должен учитывать расстояние между уровнями, которое является квазислучайной величиной. Такой член ряда не может быть записан регулярным образом. [c.234] Приведенные рассуждения могут быть распространены и на более общий случай граничных задач, чем (6.1). [c.234] К уравнению (6.1) приводятся различные задачи об определении спектра колебанпй резонаторов. Форма резонатора определяет вид границы Зг, а различные физические особенности стенок учитываются характером граничных условий. [c.234] Вернуться к основной статье