ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Универсальность К-систем и периодические орбиты из "Стохастичность динамических систем " Этот параграф будет начат с некоторого возврата к классическим Я-системам. Нам понадобятся некоторые их свойства, на которых мы до сих пор не останавливались, либо обсуждали их слишком кратко. В 1.6 уже отмечалось свойство изоморфизма Я-систем с одинаковыми значениями энтропии А, введенное Колмогоровым. Обсудим его детальнее. [c.218] Величина h—hip, q), где (р, д) — координаты, например, центра тяжести элемента объема ДГ. Именно относительно координат (р, д) и предполагается медленная гидродинамическая зависимость энтропии. [c.218] Однако в действительности реальные системы обладают существенно более сложными движениями. Опишем их в краткой форме на примере ангармонического осциллятора, в котором стохастичность возникает под действием внешнего периодического возмущения (гл. 4). Гамильтонов характер системы предполагает четное число переменных (в примере с осциллятором их две). По одной из них (фазе О) происходит быстрый процесс перемешивания с характерным временем Тс. По второй (действию I) идет медленный процесс диффузии с характерным временем тв. Таким образом, возникают, вообще говоря, два масштаба универсальности глобальной динамики универсальность динамических систем ио процессам перемешивания, если их Я-энтроиии одинаковы (на временах Тс), и универсальность по процессам диффузионной релаксации, если эти процессы имеют одинаковый коэффициент диффузии (на временах Тс). Естественно, что, например, две динамические системы могут быть изоморфными относительно перемешивания и неизоморфными относительно диффузии. [c.219] В дальнейшем мы будем интересоваться только той частью глобальной динамики, которая связана с перемешиванием, и термин универсальность применять только относительно процессов на временах тс. Очевидно, что это предполагает существование неравенства Тс Тв. [c.219] Системы биллиардного типа, в которых движение частицы является исре-мешивающимся, могут служить удобным примером для дальнейшего анализа. Свойство универсальности позволяет любой динамической системе сопоставить изоморфный ей биллиард и, с точностью до малых (краевых) эффектов, изучать общие закономерности динамики Я-систем на примере динамики частицы в соответствующем биллиарде. Этим обстоятельством мы будем широко пользоваться далее. Будем предполагать также Я-системы в достаточной степени однородными ). [c.219] Отсюда и вытекает формула (3.4). [c.220] Множество периодических траекторий является всюду плотным. Однако распределение траекторий по периодам неизвестно, так как для этого необходимо знать не только их число п(Г), яо и долю фазового объема (хотя бы огрубленного ), которую онн занимают. Решение задачи о распределении замкнутых орбит было дано Боуэном [211]. [c.221] Рассмотрим область фазового объема ДГ Г и все периодические траектории, проходящие через нее. Тогда их распределение по периодам не зависит от расположения ДГ и слабо зависпт от формы границы ДГ. Это утверждение является следствием однородности Я-систем. [c.221] Здесь g x) — произвольная интегрируемая функция х р(х) — стационарная функция распределения в фазовом пространстве ро(ДГ, ГЗДГ — число периодических орбит с периодом в интервале (Т, Т + АТ) и АТ = LdT/dDAT p (x) — функция распределения по координате х, принадлежащей замкнутой орбите Сдг(Г). [c.221] Если рассматриваемая гамильтонова система совершает финитное движение, то по теореме Пуанкаре о возвратах (см. 1.1) система всегда будет возвращаться в любую окрестность точки А. Более того, если процесс блуждания частицы аналогичен диффузионному, то распределение времени возврата имеет характерный параметр То такой, что вероятность возврата за время 4 Го экспоненциально убывает [180]. Этот вывод является следствием существования двух масштабов универсальности, или, иначе, существованием по крайней мере двух переменных (/, д), по одной из которых ( ) случайный процесс носит характер быстрого перемешивания, а по другой (/) — медленной диффузии. [c.223] Вернуться к основной статье