ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Исторические замечания из "Стохастичность динамических систем " Следует заметить, что необходимость разобраться в том, как влияет разрушение квантовых чисел на энергетический спектр системы, отмечалась еще в работе Ландау и Смородинского [1641, однако такая возможность появилась лишь после создания теории Я-спстем. [c.209] Прежде чем перейти к ответу на поставленный вопрос, приведем элементарный вывод правил квантования (1.2) (ком. 2). [c.210] Величины i4 и ф могут быть определены [156]. Их зависимость от координат является медленной. Она приводит к малым поправкам в правилах квантования и в дальнейшем учитываться не будет. [c.211] Следует отметить, что в формуле (1.6) точки q и q лежат на одной и той же траектории. Поэтому интегрирование должно производиться по этой траектории. Однако в том и только в том случае, когда число интегралов движения равно N (т. е. числу степеней свободы системы), выражение (1.3) для dS является полным дифференциалом и, следовательно, интегрирование в (1.6) может быть произведено ио любому контуру с началом в точке д и концом в точке q . Следующее упрощение при вычислении интеграла (1.4) [168] связано с тем, что величина S/li 1, и поэтому функция g(E) должна определяться в классическом приближении точками, где величина 5 имеет экстремум, т. е. [c.211] Однако все упрощается благодаря свойству потенциальности S, т. е. тому, что dS является полным дифференциалом. Вместо периодического контура вдоль траектории системы можно выбрать топологически замкнутые в фазовом пространстве (р, q) орбиты П, т. е. [c.212] Отсюда следует, что полюса функции отклика g E) определяются условиями (1.2), которые и есть правила квантования Эйнштейна Ыом. 3). [c.213] На всех этапах вывода этих правил существенно использовалось условие существования инвариантных У-мерных торов в фазовом пространстве, на которые навиваются траектории системы. В стохастическом случав часть или все инвариантные торы разрушены п очевидно, что необходим другой подход. [c.213] Статистическая теория распределения уровней была построена в работах Вигнера, Портера и Дайсона следующим образом. Подобно тому, как в статистической механике вводится определенная гипотеза о статистическом ансамбле состояний, в основу статистической теории энергетического спектра была положена следующая гипотеза распределение уровней энергии Е эквивалентно распределению собственных значений К ансамбля случайных матриц определенной симметрии. Будем называть это предположение гипотезой Х — Е эквивалентности (ком. 4). Более аккуратная ее формулировка выглядит так. Рассмотрим очень большую последовательность уровней. Выберем в ней область, содержащую также большое число (т 1) уровней. Теперь расположим на единичной окружности собственные значения, например, унитарной матрицы очень высокого порядка со случайными элементами. Выберем на окружности дугу, содержащую примерно т собственных значенпй. Тогда гипотеза Х — Е эквивалентности состоит в том, что распределения, полученные для подсистемы из т уровней и тп собственных значений, совпадают. [c.214] Гипотеза Х — Е эквивалентности не была очевидной, и основной аргумент в ее пользу был связан с тем, что распределение собственных значений ансамбля случайных матриц обладает свойством расталкивания, т. е. таким же свойством, каким должно обладать распределение уровней энергии. Однако основной вопрос о том, какие физпческпе причины приводят к случайному распределению уровней, оставался неясным. В теории Вигнера — Портера — Дайсона отсутствие информации об этих причинах компенсировалось введенпем некоторого расплывчатого понятия о существовании черного ящика взаимодействий . Аргумента-1ЩЯ к сложности системы также была неудовлетворительной, ибо само определение сложности происходило из наивного представления о системе с большим числом степеней свободы. Сейчас нам уже известно, что статистические свойства могут возникнуть даже в системе с двумя степенями свободы, в то время как в системе с большим числом степеней свободы они могут не обнаружиться, если не выполнен критерий стохастичности. [c.215] Приведенные замечания являются лишь следствиями основного недостатка гипотезы Х — Е эквивалентности эта гипотеза никоим образом не использует информацию о конкретных динамических свойствах системы. [c.215] Таким образом, возникает задача об определении функции распределения Р(Е АЕ) из первых принципов, т. е. из уравнений движения системы. Далее мы увидим, что решение этой задачи приводит к принципиально иному результату, чем (1.17) [73, 136-138]. [c.215] Вернуться к основной статье