ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Проектирование в базисе когерентных состояний из "Стохастичность динамических систем " Анализ классических систем показал, что переход от дифференциальных уравнений движения к уравнениям в конечных разностях (отображениям) приводит к существенному упрощению задачи. Естественно и в квантовом случае начать анализ с такой системы, которая бы допускала построение отображений. [c.161] В классическом пределе, когда переменные (р, д) становятся с-числами, система (2.1) совпадает с (4.1.3) (она подробно исследовалась в 4.1). Как отмечалось в 4.1, особенностью системы (4.1.3) является не только определенное удобство в построении дискретного отображения, но и то, что структура этого отображения является универсальной для гамильтоновых систем с одной степенью свободы, возмущаемых нестационарными силами. С физической точки зрения система (2.1), так же как и (4.1.3), представляет собой нелинейный осциллятор, на который действует периодическое возмущение с очень широкой полосой частот. [c.161] Формула (2.6) является квантовым отображением в представлении Шредингера. Трудность в его итерировании связана с не-коммутируемостью операторов У(д) и Яо. [c.162] Следующий этап исследований связан с анализом отображений (2.6) и (2.16). До сих пор (в классических задачах) мы рассматривали отображения векторов с конечным числом элементов. В квантовой механике отображение (2.6) записано для поля i j(g, i). Отображение (2.16) получено для операторов, для которых поля являются собственными функциями. Одним из методов анализа таких отображений является проектирование их на некоторое пространство [133, 134] и последующий анализ проекций. Остановимся на этом вопросе подробнее. [c.163] Когерентное состояние было построено Шредингером для линейного осциллятора как пример нерасплывающегося волнового пакета. Формализм когерентных состояний был введен Глаубером [141]. Приведем некоторые необходимые сведения о когерентных состояниях [142, 1431. [c.164] Когерентные состояния могут быть выбраны в качестве состояния произвольной системы, взятой в некоторый фиксированный момент времени о [142—144]. Последующая эволюция системы приводит к разрушению когерентного состояния, так как волновые пакеты произвольной нелинейной системы расплываются со временем (это свойство нелинейных систем было отмечено еще Паули [145]). Исключение составляют системы с квадратичными гамильтонианами [143] и некоторые специальные случаи нелинейных систем. [c.165] Эти выражения показывают, что оператор сдвига в пространстве проекций введенный выражениями (2.18) и (2.19), зависит также от начальных условий в явной форме, что и порождает его немарковский характер. [c.166] В большинстве случаев решение гейзенберговских уравнений движения является невыполнимой задачей. Однако именно это предстоит сделать для того, чтобы упорядочить операторы й , йп относительно начальных операторов й , о-Поэтому следует рассмотреть возможные приближенные методы решения этой задачи. Рассмотрим задачу о нормальном упорядочении в случае, близком к классическому, и получим правила нормального упорядочения в виде разложения по степеням Й [133, 1341. [c.166] Обозначим через N оператор нормального упорядочения по 4, ао. [c.167] Аналогичным образом можно получить формулы проектирования и для более сложных выражений [1471. Полученные формулы проектирования в виде разложения по степеням % будут использованы в следующем параграфе. [c.167] Сделаем замечание относительно уравнений движения для проекций. Рассмотрим канонически сопряженную пару переменных (р, д) и соответствующую им пару операторов (р, Уравнения движения для классических переменных (р, д) являются гамильтоновыми. Однако уравнения движения для средних ( / , д ), вообще говоря, гамильтоновыми не являются. Исключение составляют системы с квадратичным по р, д гамильтонианом (например, линейный осциллятор). Приведем пример, иллюстрирующий сделанное утверждение [147]. [c.167] Выражение для а Ш получается из (3.23) комплексным сопряжением. [c.168] В моменты времени г = гаГо (и = 0, 1,. ..) величина /(f) обращается в единицу. [c.168] Мы увидим дальше, как это обстоятельство оказывается существенным для динамики квантовых Я-систем. [c.169] Вернуться к основной статье