ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гомоклиническая структура в окрестности сепаратрисы из "Стохастичность динамических систем " что говорилось выше, было основано на анализе в первом порядке по возмущению. В следующем порядке, очевидно,, внутри каждого островка устойчивости возникнут новые сепаратрисы, порожденные нелинейными резонансами следующего порядка по возмущению. Эти сепаратрисы снова оденутся стохастическими слоями, сохранив внутри островки устойчивости более высокого порядка малости, и т. д. [c.95] Остановимся на следствиях, непосредственно вытекающих из сказанного. [c.96] В заключение этого параграфа приведем два примера, являющиеся хорошей иллюстрацией образования большой области стохастичности при слиянии различных стохастических слоев в ре зультате перекрытия резонансов. [c.97] Именно этот результат и должен был получиться, так как ширина резонанса по частоте должна совпадать с частотой фазовых колебаний, которая в данном случав равна частоте малых колебаний в поле одной плоской волны (то же имело место и в (3.2)). [c.98] Пусть критерий (3.7) выполняется для всех роли в пакете, имеющих фазовые скорости йыц/бк, от некоторого значения Утш ДО Ушах. Тогда фазы будут случайны именно в этом интервале скоростей, а движение частицы аналогично броуновскому движению. [c.99] В этом параграфе мы коснемся лишь в самом грубом и качественном виде еще одной особенности поведения траекторий в окрестности разрушенной сепаратрисы. [c.99] Следующее утверждение заключается в том, что при действии возмущений на сепаратрису гомоклинические точки действительно существуют. Они были обнаружены впервые Пуанкаре 127] в связи с исследованием задачи трех тел. Пуанкаре писал Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить . Рис. 5.6, г, конечно, не отражает полную картину на фазовой плоскости, а только ее нулевое приближение , так как в окрестности каждой изображенной на рисунке гомоклинической точки пе изображены осцилляции следующего порядка. Сейчас стало ясно, что в некотором точно определенном смысле структура гомоклинических точек является случайной. Эти результаты способствовали развитию метода исследования динамических систем, называемого символической динамикой (ком. 4). К сожалению, сложность метода делает его пока труднодоступным для физического анализа. Тем не менее можно использовать следующие качественные рассуждения. [c.101] Все множество гомоклинических точек назовем гомоклинической структурой . Различные системы имеют топологически эквивалентные гомоклинические структуры , если совпадают их системы гиперболических точек. В этом случае можно говорить, что законы стохастического поведения фазовых траекторий также эквивалентны, или, иначе, такие системы изоморфны. При перекрытии большого числа резонансов возникает гомоклиииче-ская структура , порожденная очень большим числом гиперболических точек, и можно ожидать, что точное знание числа гиперболических точек несущественно, если это число велико. Отсюда мы приходим к выводу, что все гамильтоновы системы с одинаковой размерностью и с большим числом сильно перекрытых ( Г 1) резонансов являются изоморфными, если они имеют приблизительно равные значения К. Напомним, что при К мера островков устойчивости, которые могли бы внести некоторое разнообразие в стохастическую динамику, очень мала ( 1/Ю. Поэтому остается сделать еще один шаг, заключающийся в утверждении, что все физические спстемы с одинаковым числом степеней свободы в той области фазового пространства, в которой 1 и реализуется тем самым быстрое перемешивание, являются изоморфными Г-спстемами (ком. 5). [c.101] Вернуться к основной статье