ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Критерий перекрытия резонансов (критерий Чирикова) из "Стохастичность динамических систем " Уравнения (1.1) соответствуют системе с одной степенью свободы, па которую действует внешняя сила (в таких случаях обычно говорят, что система имеет 3/2 степени свободы). В общем случае можно было бы записать уравнения отображений более высокого порядка, чем (1.1). [c.75] Модели, в которых уравнения движения сразу записывались в форме преобразований типа (1.1), были специально подобраны. Обычная форма уравнений движения — дифференциальная. По-.этому напрашивается вопрос можно ли от дифференциальной формы перейти к уравнениям отображений Оказывается, что не только можно (конечно, технически это пе всегда просто сделать), но н необходимо Поясним, почему это так. [c.75] Подчеркнем, что уравнения (1.7) являются точными (ком. 1). Легко убедиться в том, что те преобразовання, которые получались в задачах об ускорении Ферми, являются частными случаями (1.7). [c.77] Действие растет линейно и регулярно со временем. В действительности существуют области конечной меры вблизи значений A sin б о = 2я/га, в которых реализуется описанный механизм ускорения. [c.78] Формула (1.17) аналогична коррелятору в случае преобразования растяжения ( 2.1), однако время расцепления корреляций фаз Тс отличается в два раза. [c.80] С такой системой мы уже встречались в 1.3 прп анализе ее частного случая — изолированного нелинейного резонанса. [c.81] Приведенные определения подводят нас к вопросу о том, что будет происходить с системой, когда резонансы начнут сближаться и соответствующие им сепаратрисы на рис. 4.2 перекро-ются В этом случае можно говорить о сильном взаимодействии резонансов. [c.82] Параметр перекрытия резонансов К был введен в 1959 г. Чириковым [74], который высказал гипотезу о том, что при условии (2.10) движение системы запутывается сложным образом в резонансах и должно быть похожим на стохастическое. Ипаче, при выполнении (2.9) движение должно быть устойчивым в соответствии с теоремой KAM, а прн 1 развивается локальная неустойчивость. Впоследствии критерий перекрытия резонансов, как критерий стохастичности, был подтвержден разнообразными численными и непосредственно экспериментальным анализами (ком. 2). [c.82] Наша ближайшая цель будет заключаться в том, чтобы найти связь между критерием перекрытия резонансов (2.10) н критерием растяжения (1.14). Для этого раскроем в явной форме выражение для К (2.8). [c.82] Остановимся па некоторых обобщениях. Особенностью критерия перекрытия резонансов (2.10) является то, что для вычисления К достаточно пользоваться исследованием движения системы в окрестности только одного резонанса и в пренебрежении всеми другими. Технически такая задача достаточно просто решается, как было показано в 1.3, что делает критерий (2.10) практически очень удобным (ком. 3). Продемонстрируем это следующим образом. В правой части универсальной модели (1.5) стоит сумма эквидистантных импульсов. Разложение такой силы в ряд Фурье (2.1) имеет бесконечное число равноотстоящих на величину V гармоник с одинаковыми амплитудами. Ясно, что число гармоник может быть конечным, а амплитуды и расстояния по частоте между гармониками могут слегка варьироваться, и тем не менее критерий (2.10) сохранится. Конечно, описанная вариация задачи также позволяет построить преобразование и определить параметр растяжения, однако условие перекрытия резонансов в даннози случае быстрее приводит к цели. [c.83] Вернуться к основной статье