ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Характеристические свойства силовой функции. Теорема Дирихле из "Небесная механика Основные задачи и методы Изд.2 " Свойство 4. Если тело Т имеет конечные размеры и непрерывную плотность, то составляющие СИЛЫ притяжения материальной точки, действующей на это тело, и составляющие момента силы притяжения относительно произвольно взятого центра приведения остаются конечными, однозначными и непрерывными, когда точка Р находится внутри или на поверхности тела. [c.79] Вообразим теперь два произвольных трехмерных тела Ti и Tz, которые имеют некоторую общую часть Т. Каждую точку М, принадлежащую этой общей части, можно рассматривать и как внутреннюю точку для обоих тел, и как внешнюю точку для тел Ti — Т и Тг — Т. И в том и в другом случае взаимная силовая функция и составляющие сил притяжения, и составляющие моментов этих сил будут оставаться конечными, однозначными и непрерывными функциями параметров, определяющих положения и ориентации этих тел. [c.79] Формулы (2.10), выражающие составляющие сил, действующих на тела Ti и Тг, и составляющие моментов этих сил относительно произвольно выбранных центров приведения (но жестко связанных с телами Ti и Тг соответственно), будут справедливы и в том случае, когда тела Ti и Тг имеют некоторую общую часть. [c.79] В конце 5 этой главы было показано, что силовая функция Однородного шара удовлетворяет во внутренних точках шара уравнению, называемому уравнением Пуассона. [c.79] Мы покажем теперь, что это свойство сохраняется и для достаточно произвольного трехмерного тела. [c.79] Для этого выведем сначала некоторые вспомогательные формулы. [c.79] В этом случае мы уже не можем непосредственно применить формулу Остроградского, так как функция б/Д обращается в бесконечность в точке Р области О. [c.80] Эти формулы, одинаково справедливые и для внешней и для внутренней точки, называются формулами Римана. [c.81] Лапласа также равен нулю, что нам уже известно. [c.83] Свойство 6. Если плотность тела б(М) непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка, то в каждой внутренней точке Р тела Т силовая функция U удовлетворяет уравнениюПуассона. [c.83] Примечание. Последнее свойство доказано при довольно жестких допущениях относительно плотности тела, которая должна быть не только сама непрерывной, но должна также иметь и непрерывные частные производные первого порядка. [c.83] Оказывается, что последнее условие не является обязательным и может быть заменено другим, менее стеснительным условием. [c.83] Наиболее известным является так называемое условие Г ольдера, которое заключается в следующем. [c.83] Это условие ограничивает в известном отношении быстроту изменения плотности тела прн переходе от одной его точки к другой. При соблюдении условия Гольдера плотность 6(AI) есть заведомо непрерывная функция координат, а с другой стороны, это условие, несомненно, выполняется, если частные производные первого порядка от плотности суть функции, ограниченные в области D. [c.84] Гольдер доказал, что если плотность тела удовлетворяет указанному условию, то силовая функция U притяжения такого тела также удовлетворяет уравнению Пуассона внутри тела. Приводить здесь это доказательство мы не будем ). [c.84] Перечисленные свойства называются характеристическими свойствами силовой функции, так как они вполне определяют силовую функцию притяжения трехмерным телом материальной точки (единичной массы ), а поэтому эти свойства могут быть использованы для фактического нахождения силовой функции, чем мы в дальнейшем и воспользуемся. [c.85] Чтобы оправдать сказанное, мы докажем одну замечательную теорему, принадлежащую Дирихле, но сначала выведем одну вспомогательную формулу, данную Пуанкаре. [c.85] Теорема Дирихле. Пустьтело Т обладает непрерывной плотностью, частные производные первого порядка которой также непрерывны. Тогда, сли каким-либо способом найдена функция П(х, у, г), обладающая всеми характеристическими свойствами силовой функции, эта найденная функция совпадает во всем пространстве с силовой функцией тела. [c.86] Вернуться к основной статье