ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения задачи. Первые интегралы из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Пусть обозначает расстояние между точками и Mj (1, / = О, 1, 2,. . ., тг / /). [c.336] КОЙ другой ТОЧКИ Mj, направленная по прямой, проходящей через эти две точки, и пропорциональная произведению их масс и некоторой, заданной заранее, функции (/ Ац, Ац, Ац) от времени i, взаимного расстояния и его двух первых производных Afj и Aij по времени. [c.337] Множитель пропорциональности (или,, вернее, множители пропорциональности), обеспечивающий размерность, который либо есть величина, постоянная, зависящая от закона силы, либо вообще заданная функция времени, мы включаем в функцию Fij. [c.337] Первый и второй законы ньютоновской механики (первая и вторая аксиома в Математических началах натуральной философии Ньютона) в нашей книге сохраняются. [c.337] Заметим, что первая аксиома устанавливает свойства пространства и времени (движение рассматривается в евклидовом пространстве с равномерно текущим временем), а вторая позволяет наиболее просто написать дифференциальные уравнения движения интересующей нас механической системы. [c.337] ходимо подчеркнуть, что упомянутые три закона динамики самим Ньютоном в его знаменитом сочинении называются так Аксиомы, или законы движения и вполне аналогичны аксиомам Евклида, устанавливающим геометрические свойства пространства. [c.337] Приближенное соответствие модельных законов истинным (но нам еще не известным ) устанавливается при по.мощи на-блюден1П1 и сравнений этих наблюдений (тоже приближенных и нссонериленных) с результатами, вытекающими нз математических следствий из принятых модельных законов. [c.338] Такие случаи, так же как и в классически.х задачах небесной механики, являются особенными и требуют специального рассмотрения. [c.339] Решения не особенных задач, т. е. интегрирование системы дифференциальных уравнений (8.2) при заданных, не особенных, начальных условиях, так же как и в классических задачах, могут быть получены только приближенными методами, например, методами численного интегрирования или при помощи бесконечных рядов того или иного вида. [c.339] Очевидно, что система (8.20 состоит из трех независимых систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка с п - - неизвестными функциями каждая. Все три системы имеют одинаковую структуру и каждая может быть легко проинтегрирована в элементарных функциях. [c.339] Отметим, что уравнения (8.20 оказываются также интегрируемыми и в том случае, когда величины г, в законах (8.40 не остаются постоянными, а являются функциями времени, определяемыми законом И. В. Мещерского (см. главу IV). Прн этом предполагается еще, что во все время движения точки Mi остаются на неизменной прямой линии. [c.339] Подробности, относящиеся к этому случаю, можно найти в книге И. В. Мещерского Работы по механике тел переменной массы , Гостехиздат, 1949. [c.339] Уравнения (8.7), где ai, u2, oz, bu fez, з — произвольные постоянные, являются первыми интегралами уравнений (8.2), каковы бы ни были действующие силы, лишь бы выполнялись условия (8.6). В частности, условия (8.6) всегда выполняются, когда в системе материальных точек царствует закон типа (8.4), но единый для всех пар точек системы. [c.340] Если условия (8.6) не выполняются, или выполняются только частично (т. е. не для всех, ио только для некоторых пар точек), то правые части равенств (8.5) не будут равны нулю и интегралы движения центра масс не существуют. Поэтому условия (8.6) являются не только достаточными, но и необходимыми для выполнения принципа движения центра масс. [c.341] Заметим теперь, что существование интегралов (8.7) нисколько не облегчает задачу об интегрировании системы (8.2), а отсутствие этих интегралов вовсе не затрудняет выполнение этой задачи. [c.341] Центр масс, координаты которого определяются формулами (8.7 ), всегда существует только при выполнении условий (8.6) точка О движется равномерно по прямой линии, а при невыполнении условий (8.6) точка С движется неравномерно по некоторой пространственной траектории. [c.341] Равенства (8.9) выражают принцип сохранения момента количества движения и называются так же, как и в классической небесной механике, интегралами площадей или интегралами моментов. [c.342] Эта плоскость, проходящая через начало координат перпендикулярно к вектору момента количества движения системы, сохраняет всегда неизменную ориентацию в абсолютной системе осей, так же как и всякая другая плоскость, параллельная плоскости (8.9). [c.342] Если условия (8.6) не выполняются, то величины с, С2, сз не будут оставаться постоянными во все время движения и плоскость (8.9 ) не будет неизменной плоскостью. [c.342] Вернуться к основной статье