ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Постановка задачи. Общие свойства движения из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Выберем каким-либо образом систему декартовых координат Охуг), неизменно связанную с телом М, и пусть и х, у, г) есть силовая функция притяжения этого тела. [c.304] Известно, что система (7.1) может быть проинтегрирована только в некоторых простейших частных случаях. Таков, например, случай центрального гравитационного поля, когда функция сил и зависит только от расстояния г точки Р до начала координат (центр силового поля) и когда уравнения движения интегрируются в квадратурах. [c.305] Другой интегрируемый случай представляет классическая задача двух неподвижных центров, а также обобщенная задача двух неподвижных центров. Можно было бы отметить еще некоторые простые случаи интегрируемости, представляющие собой комбинации двух отмеченных. [c.305] Отметим, что тело М, вызывающее гравитационное поле в рассматриваемой задаче, может иметь весьма различный вид. Это может быть одно тело в собственном смысле этого слова, например, какая-либо планета Солнечной системы, и тогда задача Фату представляет собой задачу о движении малого спутника в поле притяжения планеты. Сюда же относится, разумеется, и задача о движении искусственного спутника в гравитационном поле Земли (или Луны). [c.305] Тело М может быть также составным , образуемым, например, двумя неподвижными притягивающими центрами или даже многими неподвижными центрами, расположенными симметрично относительно оси Oz и плоскости (хОу), и действующими на пассивную точку с силами, зависящими только от расстояний этой точки до неподвижных центров. [c.305] Составным телом является также система, образуемая Сатурном и его кольцом, так что в этом случае задачей Фату является задача о движении близкого спутника Сатурна. [c.305] Тело М может также состоять из неподвижного точечного центра, окруженного системой гауссовых колец, что приводит нас к задаче об определении вековых возмущений в движении астероида по методу Гаусса. [c.305] Наконец, тело М может представлять собой пылевую или газовую туманность с центральным ядром (или без центрального ядра). [c.305] Во всяком случае, силовая функция притяжения тела есть или силовая функция притяжения материального тела на внешнюю точку, или силовая функция притяжения массы на точку. [c.305] Аналитическое выражение для функции U, вообще говоря, может быть получено только в виде бесконечного ряда того или иного вида, так как представление этой функции в конечном виде (а особенно в элементарных функциях) почти всегда невозможно. [c.306] В теории притяжения указываются разложения силовой функции неподвижной массы (имеющей три, два или одно измерение) в ряды функций Лапласа или гармонических многочленов. Такие разложения имеют различную форму в зависимости от того, больше или меньше радиус-вектор г точки Р наибольшего из расстояний точек тела М до начала координат. [c.306] Какова бы ни была силовая функция и, уравнения (7.1) всегда имеют один первый интеграл, являющийся интегралом энергии (или живой силы). [c.306] Из рассмотрения интеграла (7.4) можно вывести некоторые простые заключения об областях возможности или невозможности движения. [c.306] Допустим, что начальное положение точки Р находится в той области внешнего относительно тела М пространства, которая содержит в себе бесконечно удаленные точки. Тогда силовая функция и обращается в нуль в бесконечности и может быть представлена разложением (7.3) ). [c.307] Если теперь начальная скорость точки Р такова, что постоянная живой силы оказывается неотрицательной, то условие (7.4 ) будет выполнено при любом положении точки Р в указанной области пространства. Эта часть пространства и будет областью возможности движения. [c.307] Если начальное положение точки Р находится в части пространства, не содержащей бесконечно удаленных точек (например, внутри тела или в его внутренней пустой полости), то результаты получатся другими. [c.307] Легко сообразить, что при Л О точка Р может двигаться всюду в той области, в которой она находилась в начальный момент, и может, следовательно, достигать границы этой области. Если же Л О, то результат будет зависеть от вида (и размеров) поверхности нулевой скорости (7.4 ), так что область возможности движения будет в этом случае представлять общую часть области, в которой в начальный момент находится точка Р, и области, ограниченной поверхностью (7.4 ). [c.307] Полезно еще заметить, что если гравитационное поле обладает вдобавок симметрией относительно плоскости 2 = 0, то функции F r, z) и Ф(р, 2) будут четными функциями от коор динаты г, т. е. [c.308] Такого рода случаи уже отмечались в главе IV, когда, например, все неподвижные центры лежат на оси (Ог) и действуют на пассивную точку с силами, являющимися любыми функциями от расстояний. [c.309] Таким образом, в случае осесимметричного поля уравнения движения имеют два интеграла интеграл энергии (7.4) и интеграл площадей (7.9). [c.309] Вернуться к основной статье