ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Периодические решения круговой ограниченной задачи в классическом случае из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Пользуясь методами Ляпунова, мы можем найти при помощи бесконечных рядов бесчисленное множество других часг-ных решений, остающихся близкими, по крайней мере некоторое время, к одному из известных либрационных решений. Из всех этих частных решений, близких к либрационным (т. е. к ла-гранжевым и эйлеровым), наибольший интерес для приложений представляют периодические решения, которые можно разыскать при помощи метода Ляпунова (см. 2, главы И1). [c.262] Так как определитель квадратичной формы Йг не равен нулю, то к системе (5.84) применима теорема Ляпунова и, следовательно, каждой паре чисто мнимых корней aV—1 характеристического уравнения, соответствующего системе (5.84), отвечает одно периодическое решение этой системы с двумя произвольными постоянными. [c.263] Для каждой из прямолинейных точек либрации определяющее уравнение, как было выяснено выше, имеет две пары чисто мнимых корней Ai- /—1 Яг л/— , причем можно считать Я, О, Яг 0. [c.263] Если 1 — 27ц (1 — ц) = О, то определяющее уравнение имеет двойной нулевой корень и пару чпсто мнимых - /— /, а поэтому в этом случае теорема Ляпунова непосредственно неприменима. [c.264] Каждое из упомянутых периодических решений, существование которых установлено при помощи теоремы Ляпунова, может быть фактически найдено в виде бесконечных рядов, расположенных по степеням некоторой произвольной постоянной, абсолютно сходящихся для всякого значения независимой переменной V (а значит, для всякого значения I), пока числовое значение произвольной постоянной не превосходит некоторого отличного от нуля предела. [c.264] Мы ограничимся здесь нахождением только первого приближения, т. е. только первых членов рядов (5.88). Более подробное изложение метода Ляпунова мы дадим в главе VII. [c.266] Будем считать для определенности, что Я[ V—1 — корни характеристического уравнения, соответствующего системе двух первых уравнений (5.91), а - Х2 /— — корни характеристического уравнения для случая последнего уравнения системы (5.92). [c.266] При X = этот определитель в силу тождества (5.92) равен нулю, а поэтому найдутся не равные одновременно нулю значения а и Ь, удовлетворяющие равенствам (5.93). [c.267] Теперь заметим, что при X = h третьему из уравнений (5.91) удовлетворяет функция г( ) вида (5.90) только при а = Ь = О, так что в этом решении г ) = 0. [c.267] Но так как каждый член разложения содержит множителем Z, отсюда следует, что в рассматриваемом периодическом решении мы имеем тождественно г = 0. [c.267] Уравнение этой периодической орбиты в прямоугольных координатах мы получим, исключая т из равенств (5.95). [c.267] В общем виде произвести это исключение затруднительно, но если ограничиться только членами первого порядка относительно произвольной постоянной с, то результат будет очень простым. [c.267] Отсюда следует, что периодическая орбита вблизи всякой прямолинейной точки либрации при . = .1 близка к эллипсу, центр которого совпадает с точкой либрацпи, одна ось совпадает с осью абсцисс (прямая, проходящая через точки Мо и М ), а другая перпендикулярна к этой осн. [c.267] 94) следует, что для всякой точки либрации 1 ( = = 1, 2, 3) мы имеем ]а Ь, так что большая ось каждого из этих эллипсов перпендикулярна к оси абсцисс. [c.268] Перейдем к рассмотрению второго периодического решения, близкого к прямолинейной точке либрации, для чего положим в уравнениях (5.91) X = Хг. [c.268] Тогда в силу (5.92) сразу видим, что выражение вида (5.90) для функции будет удовлетворять третьему уравнению системы (5.91) при любых вещественных значениях а и Ь . Так как нам нужно найти только какое-нибудь частное решение системы (5.91), то мы можем выбрать постоянные а и Ь совершенно произвольно, например, можем положить а = I и Ь = 0. [c.268] Соответствующая пространственная периодическая орбита близка, очевидно, к отрезку прямой —с, 4-с), проходящей через точку ( ,) перпендикулярно к плоскости (хОу). [c.268] С точностью до членов первого порядка включительно. [c.268] Если теперь 1—27ц (1 — ц) 0, то существует только одно периодическое решение, так как определяющее уравнение имеет только одну пару чисто мнимых корней + V—1. В этом случае А, = 1 и это периодическое решение определяется из третьего уравнения системы (5.97), причем, так как нам нужно иметь только частное решение, то можно взять = os т, а все коэффициенты системы первых двух уравнений (5.90) нужно положить равными нулю. Тогда уравнения (5.98) удовлетворяются. Периодическое решение системы (5.97) будет иметь вид такой же, как и (5.96), но только вблизи точек либрации (L4) и (Z-s). Периодическая орбита, соответствующая этому периодическому решению, будет близка к отрезку (—с, -f ) прямой, параллельной оси 0Z, с центром в (L4) или в (L5). [c.269] Очевидно, что все эти орбиты являются эллипсами с центром в треугольной точке либрации ( 4) или ( 5). [c.270] Вернуться к основной статье