ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача об устойчивости периодического движения из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Мы рассмотрим здесь только один важный частный случай задачи об устойчивости неустановившегося движения, когда все функции ( [хо)—периодические функции времени с одним и тем же вещественным периодом со. [c.104] В этом случае мы будем называть невозмущенное движение периодическим. [c.104] Рассмотрим теперь формулы (1.54), представляющие общее решение системы вида (2.36 ), где /so(О — либо непрерывные периодические функции с периодом со, либо многочлены относительно t, коэффициенты которых — непрерывные периодические функции с тем же периодом. [c.105] Тогда вопрос об устойчивости нулевого решения системы (2.36 ) решается рассмотрением величин ps или характеристических показателей Xs. [c.105] В самом деле, если характеристичное уравнение имеет только корни, модули которых меньше единицы, то вещественные части всех Xs будут отрицательны и все функции Xs, определяемые формулами (1.54), будут приближаться к нулю, когда / — + оо, каковы бы ни были значения произвольных постоянных s или начальных возмущений Поэтому в этом случае нулевое решение системы (2.36 ) устойчиво асимптотически (при оо). [c.105] Если характеристичное уравнение имеет корни, модули которых более единицы, то некоторые из Xs будут иметь положительные вещественные части, и стало быть, при произвольных начальных возмущениях среди функций х , удовлетворяющих уравнениям (2.36 ), обязательно найдутся такие, которые будут неограниченно расти при / оо. [c.105] Следовательно, в этом случае нулевое решение системы (2.36 ) будет неустойчивым и эта неустойчивость будет к тому же абсолютной, если модули всех ps больше единицы. [c.105] Преобразование (2.38), матрица которого удовлетворяет перечисленным условиям, называется преобразованием Ляпунова, а соответствующая матрица L t)—матрицей Ляпунова. [c.106] в частности, L = onst и L t O, то матрица L удовлетворяет приведенным условиям, а поэтому неособенное преобразование с постоянными коэффициентами всегда есть преобразование Ляпунова. [c.106] Легко проверить затем, что из свойств матрицы L t) следует, что существует обратная матрица L (/) и что она обладает теми же свойствами, что и L t). Таким образом, преобразование, обратное преобразованию Ляпунова, также есть преобразование Ляпунова. [c.106] Поэтому Преобразование Ляпунова устанавливает взаимно однозначное соответствие между решениями систем (2.37) и (2.39), при этом линейно независимые решения остаются таковыми и после преобразования. Следовательно, преобразование Ляпунова переводит интегральную матрицу X первоначальной системы в некоторую интегральную матрицу Z преобразованной системы. [c.107] Две системы (2.37) и (2.39), или, что то же, (2.37 ) и (2.39 ), называют равносильными (эквивалентными) в смысле Ляпунова, если они переводятся друг в друга преобразованием Ляпунова. Матрицы коэффициентов Р и Q двух равносильных систем всегда связаны формулой (2.40), где матрица L есть матрица Ляпунова. [c.107] Задачи об устойчивости нулевого решения двух равносильных в смысле Ляпунова систем решаются всегда в одном и том же смысле, так что если решение Zs = О системы (2.39) устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво, то таким же свойством обладает и нулевое решение = О системы (2.37), и наоборот. [c.107] Может случиться, что для данной системы (2.37) возможно подобрать такую матрицу Ляпунова L(0 что матрица Q преобразованной системы окажется постоянной, так что система (2.39) будет системой с постоянными коэффициентами. Тогда, следуя Ляпунову, первоначальную систему называют приводимой. Ясно, что если для приводимой системы известна матрица Ляпунова, то такая система немедленно интегрируется. [c.108] Покажем теперь, что всякая система (2.37), все коэффИ циенты которой — непрерывные периодические функции t с общим периодом со, является приводимой. [c.108] Легко видеть, что при замене на / + со эта матрица, так же как и получает справа множитель А. [c.109] Поэтому преобразование Ляпунова с периодическими коэффициентами приведет систему (2.37 ) к системе (2.41) с постоянными коэффициентами, что и требовалось доказать. [c.109] К сожалению, мы не имеем никакого общего способа, который позволил бы найти матрицу Ь 1), приводящую систему с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами, так что доказанное свойство имеет главным образом теоретическое значение. [c.109] Валснейшим из свойств системы с периодическими коэффициентами является зависимость между корнями характеристичного уравнения и корнями определяющего уравнения приведенной системы. Пусть А = есть постоянная матрица, на которую умножается интегральная матрица первоначальной линейной системы (2.37) с периодическими коэффициентами Рво. [c.109] Преобразуем систему (2.36) при помощи преобразования Ляпунова (формулы (2.38) или (2.380), причем матрицу пре-образования L определим формулой (2.44). [c.110] Вернуться к основной статье