ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дальнейшие ограничения на полюсы для юкавских потенциалов при вещественных из "Потенциальное рассеяние " Если накладывать дополнительные ограничения на Si [или /(/)]. то соответствующие ограничения будут иметь место и для f t) [или S/]. Выяснение смысла подобной взаимосвязи будет основным содержанием настоящей главы. Первым важным свойством является унитарность. [c.127] При выводе соотношения (9.10) была использована также нормировка (9.3). [c.128] Подставляя (9.12) в (9.11) и используя (9.10), легко находим, что. [c.129] Разберем отдельно случай Re 0=0. При р 1 интеграл может сходиться, но не всегда абсолютно и не всегда представляет собой аналитическую функцию О. [c.132] При р=1 (потенциал Юкавы) имеет место сходимость в смысле Чезаро [100]. Такое поведение не удивительно, если учесть, что линия Re 0=0 является для амплитуды разрезом и, следовательно, рассматриваемый интеграл можно определить вдоль этого разреза лишь как обобщенную функцию. [c.133] Вообще весьма интересно сопоставить свойства сходимости разложения по парциальным волнам (9.1) или (9.6) с соответствующими свойствами 1 -преоб-разования. [c.134] Заключение. Если полная амплитуда рассеяния соответствует юкавскому потенциалу с радиусом действия 1/от и р = 0, то 1) будет аналитической функцией на -плоскости с разрезом вдоль полуоси —и в эллипсе Лемана. Это означает, что разрез ограничивается в действительности интервалом —оо —т . Данный результат предполагался Мандельстамом [65] при записи двойных дисперсионных соотношений. [c.135] Интересно, что область аналитичности мы определили здесь по переменной 1, исходя из асимптотических свойств относительно переменной %. Еще более интересной с точки зрения использования в физике высоких энергий является теорема 4, развивающая далее указанную связь. [c.135] Свойства функции I) при больших не могут быть выведены с помощью разложения (9.6), которое, согласно 3, сходится лишь внутри эллипса Лемана и теряет силу при больших I. В то же время -пре-образование оказывается для этой цели весьма удобным. [c.135] Формула (9.20) представляет /(/) в виде суммы двух членов непрерывной суперпозиции функций Pip-чЛ— os О) (функций конуса) и слагаемого, появляющегося из-за наличия полюса. Рассмотрим эти члены по отдельности в пределе при Im оо, а Re О= onst. [c.135] С ПОМОЩЬЮ неравенства Гобсона (см. 3) можно получить, что при больших t функции конуса убывают и имеют порядок При Re0 0 можно в пределе от f t) (9.20) поменять местами переход к пределу и интегрирование, так что составляющая f t), обязанная интегралу, будет стремиться к нулю. [c.136] Величину ДО можно назвать угловым временем жизни системы оно тем больше, чем меньше т]о. [c.139] Мы получаем резонанс всюду, где траектория -а (к) близко подходит к целому числу. Таким образом, одна и та же функция а( ) может быть источником нескольких резонансов, если при вещественных Е она близка к нескольким целым числам. Следовательно, резонансы могут появляться целыми семействами, каждое из которых относится к одной и той же функции а к). Это соображение о семе 1ствах резонансов является весьма существенным для понимания явлений при высоких и низких энергиях. [c.139] При комплексном О (О, ф) собственные значения уравнения (9.24) могут быть комплексными и можно подобрать такую функцию 2, что собственным значением будет а(й). Аналогично можно провести мысленный эксперимент с введением порождающего сектора 1 , который непрерывно восстанавливает вероятность, утекающую на бесконечность в процессе распада резонансов. При определенном выборе время жизни резонанса становится бесконечным и соответственно энергия Е — вещественной. Подобным образом получена связь между обычной интерпретацией резонансов по Брейту — Вигнеру и их представлением с помощью комплексных угловых моментов. В дальнейшем, поскольку не изотропно, угловой момент не остается постоянной движения и первоначальная симметрия резонанса нарушается. [c.140] Таким образом, при Е = 0 траектория полюса отходит от вещественной оси в следующих направлениях вперед при волнах с / 0 под прямым углом в случае S-волн и назад при / 0 [77, 6]. При этом траектория тем ближе прижимается к вещественной оси, чем более высокой волне соответствует точка отрыва. Нет никаких общих соображений, запрещающих встречу траекторий в точке, где дР/дХ)=0 в случае такой встречи функция Иоста может иметь нуль второго порядка по Я и быть симметричной функцией, если только траектории остаются аналитическими функциями Е. Конкретные численные расчеты, выполненные для потенциала Юкавы, не показали сближения траекторий, во всяком случае при Re а — /г- Это явление возможно в левой полуплоскости, но это область нестабильности, и полученные здесь результаты настолько сильно зависят от несущественных характеристик потенциала, что не представляют интереса. К тому же они никогда не определяют асимптотику релятивистских амплитуд вследствие кризиса Грибова — Поме-ранчука [44], который не проявляется при потенциальном рассеянии. [c.143] Как показал Фруассар [38] (см. также [44]), формула (9.26), выведенная первоначально только для целых /, определяет при комплексных Я функцию а К, к), которая обладает асимптотическими и аналитическими свойствами, согласующимися с описанными в предыдущих параграфах. Кроме того, формула (9.26) дает единственное решение задачи восстановления полной комплексной функции а[К, к) [или 5(Я, й)] по заданной функции f E,t). Действительно, допустим, что существуют две такие функции 51 (Я) и 5г(Я), каждая из которых соответствует одной и той же /( , ). Ясно, что при физических значениях Я функции 51(Я) и 52 (Я) будут совпадать и разность (Я) =51(Я) — 5г(Я) обратится в нуль. Кроме того, функция 7(Я) должна стремиться к нулю при больших Я и быть аналитической в некоторой полуплоскости КеЯ а —7г. Но, согласно теореме-Карлсона (теорема 3 гл. 2), каждая такая функция должна равняться нулю. Следовательно, 51(Я)=5г(Я) и ответ является единственным. [c.144] Дисперсионные соотношения в том виде, в котором они рассматриваются в настоящей главе, появились впервые в релятивистской теории поля. Уже тогда можно было заключить, что подобные дисперсионные соотношения имеют место и для потенциального рассеяния. Кури [58] первый вывел дисперсионные соотношения для этого случая. В последующем были предприняты значительные усилия, направленные на то, чтобы заменить первоначальное доказательство Кури более убедительным и простым [39, 57, 47, 48]. Мы приводим вывод дисперсионных соотношений для потенциального рассеяния, следуя Унцикеру [47, 48]. [c.146] В таком случае будем писать, что ф — -ф- Таким образом, для сходимости справедлив критерий Коши. [c.147] Пространство С является банаховым. Сходимость по норме является в этом пространстве равномерной сходимостью. [c.148] Будем искать решения (10.1), принадлежащие С и удовлетворяющие соотношениям (10.2). Первоначальные результаты будут относиться только к потенциалам, принадлежащим С. [c.148] Вернуться к основной статье