ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений второго порядка из "Потенциальное рассеяние " Простыми результатами теории таких уравнений являются следующие теоремы. [c.21] Теорема 1. Общее решение уравнения (2.1) представляет собой линейную комбинацию любых двух линейно независимых решений. [c.21] Рассматриваемое в книге уравнение Шредингера имеет, очевидно, вид (2.2). Непосредственным следствием (2.2) является теорема 3. [c.22] Физически последняя теорема связана с уравнением непрерывности, поскольку вронскиан 1 (яр, ф ), где я]) — некоторое комплексное решение (1.4), представляет собой (с точностью до фазового множителя) просто радиальный ток. Этот ток действительно сохраняется, если уравнение одинаково для ор и гр, т. е. если У х) вещественно, что означает отсутствие поглощения частиц. [c.22] Теорема 4. Каждое решение (2.1) может быть определено заданием соответствующих граничных условий. Так, если в (2.1) функции р х) и д х) ограничены и непрерывны в некоторой точке Р, называемой неособой точкой, то наиболее удобный способ задания граничных условий состоит в задании значений решения и его первой производной в точке Р. Таким образом, решение будет определено однозначно, причем, согласно общим свойствам р х) и ( с), мы можем продолжить его в определенном интервале изменения х. [c.22] Теорема 6. Если р(х) и д х) могут быть одновременно продолжены в комплексную плоскость своего аргумента и являются голоморфными в некоторой односвязной области, то решение тоже может быть продолжено в эту область и будет в ней голоморфным. [c.24] Полное обсуждение данного вопроса содержится, например, в книге Уиттекера и Ватсона [103]. [c.24] Указанное обстоятельство очень важно при обсуждении юкавских потенциалов, поскольку эти потенциалы являются, очевидно, аналитическими в верхней полуплоскости. [c.24] Теорема 7. Основная теорема, используемая в теории потенциального рассеяния, принадлежит Пуанкаре [83]. Она относится к дифференциальным уравнениям, содержащим параметр. Предположим, что ] х, т]) в (2.2) зависит не только от координаты, но и является также целой аналитической функцией некоторого параметра т]. Возьмем решение гр(л ), определенное граничным условием, не зависящим от Т1, в регулярной точке Р(х=с) [например, ]5(с)=0, ф (с) = 1]. Теорема Пуанкаре утверждает, что1 з(а , т]) при фиксированном х также является целой функцией т]. Требование регулярности точки Р может быть ослаблено, если граничные условия остаются независимыми от т). Большинство теорем, установленных ниже, являются, по существу, обобщениями теоремы Пуанкаре. [c.24] Вернуться к основной статье