ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие свойства стационарных состояний кристалла, базирующиеся на его симметрии из "Теория твёрдого тела " Стационарные состояния кристалла имеют определенную энергию и описываются собственными функциями оператора Гамильтона Н. Вследствие трансляционной симметрии оператор Н коммутирует с оператором трансляции Тп, т. е. [c.24] Состояния с определенным значением к пространственнооднородны. Любое пространственно-неоднородное состояние в идеальном кристалле описывается суперпозицией состояний с различными к и, следовательно, не является стационарным. [c.24] Используя это равенство, можно продолжить функцию Еа(к), определенную для значений к, лежащих в первой зоне Бриллюэна, на все Л-пространство., Образованная таким образом функция Еа(к) будет периодической с периодами, совпадающими с векторами bi (i = l, 2, 3) основных трансляций в обратной решетке. [c.24] Квантовые числа а в (5.2) определяются симметрией кристалла. Совокупность элементов симметрии, переводящих каждое направление в кристалле в ему эквивалентное, образует группу направлений, которую называют точечной группой кристалла. [c.24] вообще говоря, отличается от точечной группы пространственной решетки (решетка Браве), симметрия которой, как правило, выше симметрии точечной группы кристалла. Другими словами, ВСЯКИЙ элемент симметрии точечной группы кристалла обязательно содержится в точечной группе пространственной решетки того же кристалла. Однако обратное может не иметь места. [c.25] Существует 32 точечные группы, соответственно которым кристаллы подразделяются на 32 кристаллических класса (см. табл. 1). Эти классы распределяются между сингониями. Например, триклинная сингония содержит два класса Сь 52 моноклинная—три Са, Сз, Сгл кубическая — пять. Подробное перечисление всех классов и их распределение между сингониями можно найти в книгах Китайгородского [1] и Любарского [2]. [c.25] Совокупность элементов симметрии кристалла, переводящих все его точки в им эквивалентные, образует пространственную группу кристалла. Группа трансляций является подгруппой пространственной группы. Для трехмерных кристаллов имеется 230 различных пространственных групп для двумерных—17 и для одномерных —две. Полная классификация всех пространственных групп была впервые дана Е. С. Федоровым (1895 г.) и несколько позже Шенфлисом. [c.25] В остальных 157 пространственных группах точечная группа кристалла не является их подгруппой. К группам этого типа относятся пространственные группы кристаллов алмаза, кремния, олова, висмута, германия, антрацена, нафталина и др. Эти пространственные группы в качестве элементов симметрии содержат суи ественные винтовые оси и плоскости скольжения ). [c.25] Элементарные ячейки одноатомных кристаллов, элементы симметрии которых образуют простую пространственную группу, содержат по одному одинаковому атому. Элементарные ячейки одноатомных кристаллов, пространственная группа которых содержит винтовые оси или плоскости скольжения, содержат по два и более одинаковых атомов. Например, элементарная ячейка кристалла германия содержит четыре атома германия и его пространственная группа имеет винтовую ось четвертого порядка. Элементарные ячейки алмаза, кремния, олова, висмута содержат по два атома элементарные ячейки молекулярных кристаллов антрацена и нафталина — по две молекулы. [c.26] Крестики указывают концы стрелок, а кружки — острия. [c.26] Представление группы R является также представлением факторгруппы G/T. [c.27] Коэффициенты этих преобразований Лр ( ) образуют матрицы, которые будут неприводимыми представлениями фактор-группы G/T. Размерность этих представлений определяет кратность вырождения соответствующих энергетических состояний кристалла. Таким образом, функции стационарных состояний кристалла можно классифицировать с помощью неприводимых представлений фактор-группы G/T, или с помощью изоморфной с ней точечной группы симметрии кристалла R, характеризующей симметрию направлений. [c.27] Неприводимые представления, к которым относятся функции фор, характеризуют их свойства симметрии и определяют правила отбора между стационарными состояниями кристалла под влиянием внешних возбуждений. Существенно, что волновые функции ilJo , относящиеся к разным неприводимым представлениям, ортогональны между собой. [c.27] В процессах поглощения и испускания длинноволнового (по сравнению с постоянной решетки) света наибольшую роль играют только состояния с малыми векторами k. Следовательно, для этих процессов самой важной частью первой зоны Бриллюэна является ее центральная область к О. [c.27] В ряде явлений приходится рассматривать и состояния скфО. Симметрия направлений в кристалле позволяет провести классификацию стационарных состояний и в этом случае. Рассмотрим кристаллы с простыми пространственными группами. В таких кристаллах точечная группа симметрии является подгруппой пространственной группы и все ее элементы симметрии оставляют оператор энергии кристалла неизменным. [c.27] Для иллюстрации особых точек зоны Бриллюэна рассмотрим квадратную двумерную решетку. Ее зона Бриллюэна представляет собой квадрат, изображенный на рис. 8. Точечная группа симметрии этой зоны имеет восемь элементов симметрии Е (тождественный) С4, С , С —Х)си симметрии четвертого порядка (с поворотами на 90, 180 и 270°) и четыре плоскости зеркальной симметрии Ох, Оу, о , Первые две, соответственно, перпендикулярны осям кх и ку, а две другие проходят через диагонали квадрата. [c.28] Четыре волновых вектора, соответствующих вершинам квадрата, эквивалентны, так как разделены тблько векторами обратной решетки. Поэтому точке М, как и центру зоны Г, соответствует вырожденная звезда, состоящая- из одного вектора. Точке X, лежащей на оси симметрии на границе зоны, соответствует вырожденная звезда, состоящая из двух векторов. Точкам А и 2, лежащим на осях симметрии, но не совпадающим с X и Л1, и точкам Z, лежащим на границе зоны и не совпадающим с X и М, соответствуют вырожденные звезды, состоящие из четырех векторов. Любым другим не особым точкам этой зоны, лежащим внутри нее, соответствуют невырожденные звезды, состоящие из восьми векторов. [c.28] Аналогичное положение имеет место и для точек Ц и Z, неприводимые представления которых указаны в табл. 2. [c.29] Точкам X соответствует вырожденная звезда, состоящая, из двух волновых векторов. Группа этих Ьолновых векторов (группа точки X) содержит четыре элемента симметрии и четыре одномерных неприводимых представления (табл. 2). Поэтому одной энергии будет соответствовать по две функции, относящиеся к одному из четырех представлений группы точек X. [c.29] неприводимые представления пространственной группы характеризуются 1) совокупностью волновых векторов, образующих звезду 2) неприводимыми представлениями группы волновогб вектора, которые обычно называются малыми представлениями. Порядок представления группы равен произведению числа векторов в звезде на порядок неприводимого представления группы волнового вектора. [c.30] Вернуться к основной статье