ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Контактные задачи для областей с круговой граинцей (пластинка с круговым вырезом) из "Развитие теории контактных задач в СССР " Контактные задачи для областей с круговой границей (пластинка с круговым вырезом, круглый диск, сжимаемый штампами) удобно разделить по своей постановке и методам решения на две группы. [c.135] Решение краевых задач для круговых областей или областей, отображаемых на единичный круг рациональной функцией, в том числе и смешанной задачи вида (3.1), (3.2), было дано Карцивадзе [124, 125] и достаточно подробно изложено в монографии [170]. [c.136] Решение этой задачи более сложным путем получил также Л. Б. Минцберг [164]. Ряд задач о тяжелом цилиндре, закрепленном по-одной или нескольким дугам, решены изложенным выше методом в работах 163—65]. Приближенное решение задачи об упругом кольце, закрепленном по двум симметричным дугам и нагруженным внутренним давлением, дано в работе Вен-Фу Ю . [c.137] Ко второй группе контактных задач с круговой границей отнесем задачи, в которых соприкосновение между круговыми телами происходит без трения по значительному участку их общей границы, протяженность которой находится в процессе решения задачи. Интегральное уравнение в этом случае получается более сложным, однако его можно свести к интегродифференциальному уравнению типа Прандтля, хорошо известному в теории крыла конечного размаха [93]. [c.137] Предложенный метод вывода интегродифференциального уравнения для контактного давления р а) может быть применен к другим подобным задачам. Пусть в круговое отверстие в бесконечной пластинке вложена упругая шайба того же диаметра, прижимаемая к краю отверстия си-лой Р, приложенной в центре шайбы [114]. Упругие постоянные шайбы и пластинки различные. Решим краевую задачу (3.10) для шайбы. Это решение дается формулами, аналогичными (3.15) и (3.19) для пластинки. По формулам (3.20) подсчитаем Н1+ (сРи,)1аЬ на контуре шайбы. [c.138] К этому уравнению добавим условие (3,22), определяющее протяженность дуги и. Переходя к пределу при Ег оо, придем к случаю абсолютно жесткой шайбы, при Е- -оо — к задаче об упругой шайбе, прижимаемой к краю отверстия в жесткой пластинке. Если пластинка и штамп сделаны из одного материала, то к=0 и задача решается в замкнутом виде [173]. [c.139] Задачи о штампе решались М. П. Шереметьевым [252] и одновременно с ним В. В. Панасюком [178—180]. Их вывод основного уравнения отличается от рассмотренного здесь и принадлежащего А. И. Каландии [114] только тем, что упомянутые выше авторы воспользовались приемом, предложенным И. Н. Карцивадзе [124, 125], что привело их к несколько более громоздким выкладкам. [c.139] Однако впервые, если не считать частного случая [173], такая задача была поставлена и решена И. Я. Штаерманом [258]. Воспользовавшись известным решением о сжатии цилиндра двумя диаметрально противоположными силами [234] и решением аналогичной задачи для внешности кругового отверстия в упругой среде, он применил принцип суперпозиции и нашел радиальиые перемещения, создаваемые распределенной по дуге и нагрузкой р(-0 ). Поскольку сумма этих перемещений легко находится из геометрии соприкасающихся тел, И. Я- Штаерман получил для p f ) интегральное уравнение Фредгольма второго рода и показал, что оно может быть сведено к интегродифференциальному уравнению типа Прандтля [71]. [c.139] Аналогичным образом А. В. Белоконь [58] получил сдстему двух интегральных уравнений Фредгольма первого рода в задаче о круговом диске, сжимаемом двумя различными гладкими штампами. Сведя затем эту задачу к системе уравнений Фредгольма второго рода, он решил ее асимптотическим методом. [c.139] Значительно позднее, по-видимому, не зная о работе И. П. Шереметьева [252], подобную задачу решил Уилсон [320, 329]. Им же эта задача обобщена на случай жесткого эллиптического включения [241]. [c.140] Длина дуги L, как и ранее, определяется из условия (3,22). [c.140] Остановимся на решении уравнения (3.27). В задаче о штампе, вдавливаемом в край кругового отверстия [252], М. П. Шереметьев использовал прием, предложенный Л. Г. Магиарадзе [151], и свел интегро-дифференциальное уравнение к интегральному уравнению Фредгольма Второго рода, считая, что для него существует хорошо разработанный алгоритм решения. Позднее М. П. Шереметьев [254] предложил другой метод решения этого уравнения, сводящий его к бесконечной регулярной системе линейных уравнений. В. В, Панасюк [180] использовал прием, известный в теории крыла конечного размаха [93], и построил график зависимости во от рк [Е(Я—К)7 1] (фиг. 2), аналогичный полученному ранее И. Я. Штаерманом [258]. [c.141] В ряде случаев [114] регулярный член в уравнении (3.27) вырождается в функционал, что позволяет решать систему вида (3.29) методом последовательных приближений [113]. [c.142] Вернуться к основной статье