ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые сведения по теории сингулярных интегральных уравнений и их приложение в теорин упругости из "Развитие теории контактных задач в СССР " Указанный класс функций называется классом Гельдера —Липшица и обозначается через Н(А,Х). Постоянная Я называется показателем класса. Сумма, произведение и отношение (если знаменатель не обращается в нуль) двух функций, принадлежащих классам Гельдера — Липшица, также принадлежит классу Гельдера —Липшица с наименьшим значением показателя. Отметим, что дифференцируемые функции принадлежат классу Гельдера — Липшица с показателем единица. [c.22] Свойство функции принадлежать классу Я (А, X) является локальным свойством. Оно может иметь место в окрестности одних точек контура и ие выполняться в окрестности других. Далее будут рассматриваться функции, принадлежащие классу Н Л,к) во всех точках контура. Особые случаи будут специально оговариваться. [c.22] В отличие от интеграла Коши, интеграл типа Коши, внешне представляемый той же формулой (2.1) при ге1 +, образует некоторую аналитическую в /)+ функцию (обозначаем ее через Ф+ 2)), а при геП — аналитическую в В функцию Ф (2), обращающуюся в нуль на бесконечности. Построенные так функции Ф (г) и Ф (г) можно рассматривать как единую кусочно-аналитическую функцию Ф(г). [c.22] В обычном понимании (как несобственный) интеграл (2.2) не оказывается сходящимся. [c.22] При фиксированном б интеграл (2.3) существует в обычном понимании. Осуществим далее предельный переход (б-хО). Полученное значение будем называть главным значением сингулярного интеграла (2.2). [c.22] Поскольку плотность ф(т)еЯ(ЛД), первый интеграл является несобственным. Второй же интеграл изучен выше. Таким образом, показано, что когда плотность принадлежит классу Гельдера — Липшица, сингулярный интеграл имеет смысл н, более того, получена формула для его вычисления. [c.23] Сформулируем теорему Племели — Привалова. Утверждается, что для любой функции ф(тг)еЯ(Л, X) соответствующий сингулярный интеграл Ф( ) также принадлежит классу Гельдера — Липшица с тем же показателем (при Х 1) или с показателем 1—(е — сколь угодно малое положительное число), если Х= 1. [c.23] Изучение поведения предельных значений (с разных сторон контура), а также сингулярного значения интеграла приводит к тем же результатам, что и для замкнутого контура. [c.24] Обратимся к исследованию поведения интегралов типа Коши и соответствующих сингулярных интегралов, когда контур интегрирования не является замкнутым. Пусть — гладкий разомкнутый контур с концами в точках а и 6. Фиксируем направление обхода, например от точки а к точке 6. [c.24] Интеграл (2.9) не изменит своего значения, если контур Ь дополнить каким-либо образом до замкнутого, положив при этом на новой части контура плотность, равной нулю. Очевидно, что нее приведенные выше результаты для случая замкнутого контура, носящие локальный характер, имеют место во всех внутренних точках контура Ь. [c.24] Можно показать, что в окрестности точки а выполняется неравенство 1Ф(г) l / 2 —aj , (a v l). [c.25] Фс(г) — функция аналитическая в окрестности точки а. [c.25] Первый интеграл исследован выше. Можно показать, что второй интег-рал по модулю меньше некоторой постоянной, деленной на г —а (а—Х аг, а—где X—показатель класса Гельдера — Липшица, к которому принадлежит фуикцияф (т)). [c.25] Заметим, что союзное уравнение для характеристического уравнения яе будет являться, вообш,е говоря характеристическим уравнением. [c.26] Из этих формул следует, что характеристическая часть оператора К де зависит от последовательности исходных операторов и определяется лишь их характеристической частью. [c.26] Будем далее рассматривать сингулярные уравнения, когда на контуре всюду выполняется неравенство a t) b t)= Q, и, следовательно, коэффициент задачи Римана принадлежит классу Гельдера—Липшица а не обращается в нуль. [c.27] Напомним, что полином P(t) отсутствует при 0. Из явного представления решения (2.18) следует его принадлежность классу Гельдера— Липшица. [c.27] Таким образом, вопрос о существовании решения характеристического уравнения и его фактическое построение определяются посредством вспомогательной задачи Римана. [c.27] Сопоставление решений задачи Римана для исходного (характеристического) и союзного ему уравнения позволяет сформулировать определенные утверждения (альтернативы) относительно их разрешимости в форме, принятой в теории интегральных уравнений Фредгольма. [c.27] В этом случае для вспомогательной функции получено регулярное интегральное уравнение. Искомая функция ф находится посредством оператора К. Приведенная процедура называется регуляризацией справа. [c.28] Вернуться к основной статье