ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ Смешанные задачи теории функций комплексного переменного и их приложение к плоским контактным задачам теории упругости из "Развитие теории контактных задач в СССР " Изложенные выше исследования, охватывающие смешанные задачи теории функции комплексного переменного и их приложения к плоским контактным задачам теории упругости, позволяют сделать вывод о том, что к началу 50-х годов разработка методов решения таких задач для однородной области была в основном закончена. Дальнейшие исследования в этом направлении были связаны как с постановкой физически новых задач, так и с решениями смешанных задач для областей гораздо более сложной геометрии, что, в свою очередь, привело к разработке таких математических методов решения этих задач, как интегральные преобразования и парные интегральные уравнения, парные тригонометрические ряды, интегральные и иитегро-дифференциальные уравнения и системы уравнений и др. [c.17] Здесь ,, 2 — известные упругие постоянные, г,(л ), хг х)—аппликаты обеих поверхностей до деформирования, отсчитываемые от общей касательной плоскости. [c.17] Ростовцев [301] показывает, что tl 55) приводится к уравнению Вольтерра первого рода, а следовательно, обш,ее решение может быть представлено через обыкновенные интегралы. В качестве примера автор рассматривает задачу о давлении клииа на плоскость и штампа с закругленными краями. [c.17] Беляевым [98, 99, 167]. Когда соприкасание упругих тел происходит вдоль значительной части их границ (внутреннее соприкасание цилиндрических тел), гипотеза Герца о малости области контакта становится неприменимой, а решение соответствующей контактной задачи значительно усложняется. Решениями таких задач в предположении, что поверхности соприкасающихся тел идеально гладкие и в области контакта силы трения отсутствуют, занимался целый ряд исследователей И. Я- Штаерман, М. 3. Народецкий, М. П. Шереметьев, В. В. Панасюк, Д. В. Грилицкий, А. И. Каландия и др. [c.17] Исследования в этом направлении были продолжены М. 3. Народец-ким [242—244], рассмотревшим задачу внутреннего соприкасания двух кругов —конечного. радиуса и достаточно большого, причем прижимающая сила приложена к внутреннему кругу. Им найдена зависимость длины контакта и напряжений вдоль нее от точки приложения силы. В другой работе решается задача о давлении вала на пластинку с круговым отверстием такого же радиуса, что и вал. Для случая сосредоточенной силы, приложенной в центре вала, и одинаковых упругих свойств тел найдена длина дуги участка контакта и давление в этих точках. [c.18] Шереметьев [374] исследовал упругое равновесие бесконечной пластинки с вложенной в круговое отверстие абсолютно жесткой или упругой шайбой, к центру которой приложена сила. Здесь же рассматривалась задача равновесия пластинки со вставленным в круговое отверстие упругим диском такого же радиуса, причем пластинка растянута в двух направлениях. Это была одна из первых работ такого направления. [c.18] В монографии М. П. Шереметьева [375] эти задачи были сведены к интегро-дифференциальному уравнению Прандтля (с помощью комплексных представлений Колосова — Мусхелишвили) и получен алгоритм приближенного решения этого уравнения. Еще одна интересная задача исследована автором сведением проблемы к задаче линейного сопряжения для аналитических функций, решение которой известно. Это—задача равновесия неограниченной пластинки, эллиптическое отверстие которой подкреплено двумя абсолютно жесткими и симметрично расположенными припаянными накладками, между которыми вставлены с натягом два упругих стержня, причем пластинка растянута на бесконечности в двух направлениях. Аналогичным методом исследован случай четырех накладок. [c.18] Панасюк [252, 253] вновь вернулся к задаче внутреннего соприкасания цилиндрических тел и предложил несколько отличный от ранее существующих метод вывода интегро-дифференциального уравнения для определения контактного давления. Он нашел приближенное решение этого уравнения при некоторых специальных условиях нагружения в случае абсолютно жесткого диска. [c.18] Продолжая исследование контакта упругого круглого диска под действием центральной силы с круговым отверстием в неограниченной упругой пластинке, А. И, Каландия [182] использовал потенциалы Колосова— Мусхелишвили и свел задачу к сингулярному интегральному уравнению, отличаюш,емуся от хорошо изученного лишь наличием некоторого регулярного интегрального оператора. Автор построил приближенное решение этого уравнения, в основе которого лежит аппроксимация искомого решения тригонометрическим интерполяционным многочленом Лежандра по чебышевским узлам. [c.19] Угодчиков и А. В. Крылов [340] рассмотрели задачу контакта кругового диска под действием центральной силы с круговым концентрическим кольцом, внешний контур которого подвержен действию заданной нагрузки. Используя метод Мусхелишвили, авторы построили приближенное решение этой задачи, причем для определения длины линии контакта используется метод попыток (условия контакта при этом удовлетворяются только в отдельных точках). [c.19] Как известно, при решении контактных задач для криволинейных в плане пластинок конечных размеров значительные упрощения пойвля-ются в том случае, когда возможно сведение этой задачи к контактной проблеме для полуплоскостей с прямолинейной границей контакта. Первой работой в этом направлении было исследование А. В. Бицадзе [101], свободное от априорной аппроксимации уравнений соприкасающихся кривых (допущение Герца). Задача сведена автором к сингулярному интегральному уравнению, решение которого найдено в квадратурах. [c.19] Игнорирование конечных размеров в этих задачах приводит к невозможности определения сближения пластинок после деформации. Попытка приближенного определения этой величины предпринята в работах И. Ш. Рабиновича [294, 295]. Однако для определения величины сближения пластинок требуется решение соответствующих контактных задач для тел именно конечных размеров. [c.19] При исследовании смешанных задач для областей, отличных, от полуплоскости и полосы, успешно развивался метод Н. И. Мусхелишвили. [c.19] В Другой работе Г. П. Черепанов [361] указал метод отыскания точного аналитического решения широкого класса смешанных задач теории упругости для пластинки, границы которой состоят из прямых, перпендикулярных оси X, и любых отрезков этой же оси. Задача решена с помощью конформного отображения заданной области на- каноническую. В качестве примера автор рассмотрел такую область —оо х оо, —оо у 0 - а х а, а у х . При этом происходит сжатие на бесконечности, грани полосы лг= а жестко подкреплены без трения упругим телом, а на отрезках действительной оси .х 1 а отсутствуют напряжения. Другой пример состоит в контактяой задаче для плоскости с вынутой полосой, на дно которой давит симметричный штамп. Этот класс решений является обобщением известного класса решений, указанного Вестергардом еще в 1939 г. Представления Вестергарда относятся к бесконечным телам, граница которых расположена вдоль одной и той же прямой, иа которой, кроме того, касательное напряжение должно обращаться в нуль. [c.20] Отметим здесь же одну смешанную плоскую задачу теории упругости для квадрата, решенную Л. М. Куршиным [209] с помощью сведения проблемы к соответствующему интегральному уравнению. При задании определенных граничных условий автор определяет касательные напряжения в защемлении. [c.20] Ряд исследований последнего времени коснулись классических областей (плоскость, полуплоскость). Ю. И. Черский [365, 366 ] дал точное решение периодической задачи при -наличии полного сцепления или сил кулонова трения, а также получил решение задачи о давлении полубес-конечного штампа в условиях, когда на части границы контакта имеется кулоново тренне, а на остальной — сцепление. [c.20] Приближенное решение задачи о заглубленном штампе произвольного профиля, находящемся в сцеплении с полуплоскостью, дано в работе Г. В. Ковнеристова [193]. [c.20] Свекло [314] получил решение о совместном действии на упругую полуплоскость клина и штампа, что дало возможность получить также решение следующих задач а) задача о клине параболической формы, забитом на некоторую глубину в полуплоскость б) полуплоскость, армированная вдоль оси симметрии системой жестких тонких включений эллиптического вида в) полуплоскость, армированная тонким включением прямоугольного вида. [c.20] Копасенко [195]. Автор составил интегральные уравнения относительно контактного давления н нормального напряжения в заделке. Методом Бубнова —Галеркина эти уравнения сводятся к двум системам линейных алгебраических уравнений. Численные результаты получены для штампа с плоским дном для наклонного и параболического штампа. [c.21] Вернуться к основной статье