ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приложение НА. Уравнения, описывающие течение газа в трубах и волны на мелкой воде переменной глубины из "Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах " В ЭТОМ Приближении мы рассмотрим две физические задачи и приведем их волновые уравнения к общему виду. В следующем приложении (ИБ) мы опишем метод, с помощью которого это общее уравнение сводится к эталонному. Забегая вперед, заметим, что первая задача приводит к обобщенному уравнению Бюргерса, а вторая — к обобщенному уравнению КдФ. В гл. 1 и 2 было расс, ютрепо распространение волн в однородных средах. Мы умышлеппо выбрали две указанные выше задачи, в которых рассматриваются волны в неоднородных средах, чтобы подчеркнуть тот факт, что даже в случае распространения волн в неоднородной среде эталонные уравнения с переменными коэффициентами могут адекватно отобразить реальную физическую ситуацию. [c.55] Рассмотрим распространение волн в жидкости (газе), текущей по каналу (трубе) переменного сечения. Предположим, что все переменные, характеризующие поток, постоянны пО сечению трубы, т. е. движение можем считать одномерным. Для них имеются следующие уравнения (Джеффри, Таниути [1964]). [c.55] Заметим, что мы пренебрегли зависимостями р, у, Гр, Тр, Грр,. рр Трр от X. [c.57] Таким образом, мы свели систему уравнений (ПБ.16) к одному уравнению относительно неизвестной ф. Между прочим заметим, что р =, О, если Сь определяемое (ПБ.9), не равно нулю. В своих работах Таниути и Вэй [1968] и Асано и Оно [1971] рассмотрели случай С = 0. [c.64] К уравнению КдФ (с переменными коэффициентами). Теперь мы применим изложенный выше метод к двум случаям, рассмотренным в приложении ПА. [c.65] Ниже мы напомним читателю только те свойства уравнения Шредингера, которые понадобятся для наших рассмотрений. Для дальнейших ссылок мы отсылаем читателя к книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1974]. [c.69] Здесь решение ехр (ikx) отвечает частице, движущейся в положительном направлении оси х, в то время как решение ехр(—ikx) отвечает частице, движущейся в отрицательном направлении оси х. [c.70] Из закона сохранения энергии имеем энергия падающей волны равна сумме энергии отраженной волны и энергии прошедшей волны, т. е. [c.71] Наиболее важное следствие этого результата заключается в том, что мы можем сразу же для всех моментов времени определить спектр уравнения Шредингера, используя начальное условие и х, 0)= ио(х), заданное заранее для решения уравнения КдФ. [c.74] Получение выражения (3.31) требует от читателя некоторой иску щенности в элементарных преобразованиях.—Яр ж. перев. [c.74] Уравнения (3.43), (3.51) и (3.52) определяют поведение параметров рассеяния Сщ, а, Ь в зависимости от I через их значения при I = О, которые можно получить путем решения уравнения Шредингера с потенциалом ио(х), заданным начальным условием для уравнения КдФ. Таким образом, решение прямой задачи рассеяния завершено. [c.76] А также В. А. Марченко [1955].—Прим. перев. [c.76] Напомним, что Ст( ш, О есть коэффициент при ехр (—Хт, I) в асимптотике нормированной собственной функции при + — Прим. перев. [c.76] Чтобы проиллюстрировать метод обратной задачи теории рассеяния, в этом разделе мы рассмотрим простые случаи одно- и двухсолитонных решений уравнения КдФ. Это рассмотрение покажет, что одному собственному значению уравнения Шредингера соответствует только одно солитонное решение и наоборот. Мы установим аналогичный факт для общего случая N солитонов в следующем разделе. [c.78] Если мы хотим, чтобы коэффициент при со не зависел от х, то должны выбрать — 2 = 0, т. е. 5=1, —2. [c.79] ЧТО совпадает с решением типа уединенной волны (3.58). Этот простой пример объясняет, как работает метод обратной задачи рассеяния. Между прочим заметим, что только одна уединенная волна соответствует собственному значению к — I. [c.81] Вернуться к основной статье