ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эффект нелинейности из "Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах " Для изучения эффекта нелинейности решим уравнения 1(а) и II(а) из разд. 2.1 при одинаковых начальных условиях. Начальные данные намеренно выбраны настолько простыми, чтобы физические факты не утонули в сложных математических выражениях. [c.30] Решение (2.5) не зависит явно от времени t и поэтому называется стационарным. В настоящей главе мы будем рассмат-)ивать большей частью только такие стационарные решения. -1а рис. 2.1 показано распространение (эволюция) начального параболического импульса по л и Решение (2.5) описывает такой же импульс, что и начальный, центр которого за время 1 сдвигается на в положительном направлении оси X. Мы отразим этот факт, говоря, что решения уравнения 1(а) представляют собой волны, движущиеся без изменения формы со скоростью с в положительном направлении оси X. [c.32] На рис. 2.2а и 2.26 сравниваются характеристики для уравнения 1(а) и II (а) в плоскости х,1). Заметим, что характеристики уравнения 1(а) образуют семейство параллельных прямых с наклоном агс1дс к оси 1, в то время как характеристики уравнения II (а) в общем случае образуют семейство пересекающихся прямых. Вдоль каждой характеристики последнего семейства и остается определенной постоянной величиной, и наклон характеристики определяется соответствующим постоянным значением и. [c.32] Нашу основную идею можно кратко сформулировать так волна, описываемая гиперболическим уравнением, распространяется с конечной скоростью. В этом смысле мы можем рассматривать каждую характеристику в плоскости х, 1) как движущуюся элементарную волну, и свойство волны. [c.32] Когда t мало ( - 0), для удовлетворения начальному условию нужно брать только верхний знак перед радикалом в (2.11). Когда t Т Т еще нужно определить), при х а Б (2.11) допустимы оба знака. [c.33] На рис. 2.3 изображены характеристики II (а) с начальным условием (2.2) в плоскости (х, ) при а = 1. Этот рисунок весьма поучителен как графическое изображение распространения элементарных волн, исходящих из разных точек оси X в момент времени = 0. Все элементарные волны, исходящие из точек (х, 0), где х —1, рано или поздно пересекают характеристики, исходящие из точек х, где х 1. В точке пересечения двух характеристик получаются два значения и. Ясно, что такая ситуация физически неприемлема. Следовательно, если в этом случае нас интересует единственное ограниченное решение, то мы должны ввести понятие слабого решения, допускающего движущиеся разрывы. В гидродинамике такие разрывы называются ударными волнами. Из рис. 2.3 также очевидно, что точки л = а все время остаются неподвижными. [c.34] На рис. 2.4 показано распространение импульса (2.2) при а= . Когда t растет, профиль и все более и более деформируется. Отсюда мы заключаем, что нелинейность приводит к прогрессирующей деформации начального профиля волны. [c.34] Линейные волны распространяются без изменения профиля. Роль нелинейности заключается в том, что она приводит к деформации волнового профиля, возрастающей с ростом /. По истечении некоторого времени (t Т) физический смысл имеет решение, содержащее движущиеся разрывы. Мы назвали такое решение слабым решением. [c.36] Вернуться к основной статье