ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дифракция на проводящей сфере. Теория Ми из "Основы оптики Изд.2 " В работе, опубликованной в 1908 г., Дж. Ми 191 на основе электромагнитной теории получил строгое решение для дифракции плоской монохроматической волны па однородной сфере произвольного диаметра и состава, находящейся в однородной среде. Эквивалентное решение той же проблемы было вскоре опубликовано Дебаем 120] в статье, оттюсящейся к давлению света (т. е. механической силе, вызываемой светом) на проводящую сферу. Затем различные аспекты этой проблемы рассматривались многими авторами ). [c.586] Как обычно, выделим зависимость от времени в виде йиаджителя ехр (—(ш/)-Тогда электрический и ма1-нитаый векторы и вне, и внутри сферы удовлетворяют уравнениям Максвелла в форме, не зависящей от времени, т. е. [c.587] Воспользуемся прямоугольной системой координат с началом в центре сферы. Пусть ось г совпадает с паправлением распространения волны, а ось X-— с иаправлепием ее электрического вектора (рис. 13.7). [c.587] Ясли амплитуда электрического вектора падающей волны нормировала на единицу, т. е. [c.587] Что касается граничных условий, то в соответствии с п. 1.1.3 мы потребуем лишь, чтобы тан1 енциа,льные составляющие векторов Е и Н были непрерывны на поверхности сферы, т. е. [c.587] Уравнения (10) вместе с граничными условиями (11) служат основными уравнениями пашей задачи. [c.589] Решение с нулевым радиальным магнитным полем называется электрической волной (или поперечной магнитной волной), а решепие с пулевым радиальным электрическим полем — магнитной волной (или поперечной элсктричсско волной). Ниже мы покажем, что каждую из воли можно получить пз соответствующего скалярного потенциала П пли И, которые известны как потенциалы Дебая ). [c.590] Подставляя (18), (19), (20), (21) и (22) в уравнения (10), легко убедиться, что мы получили решение нашей системы уравнений. [c.590] Подобным же образом можпо рассчочрсгь магнитную волну тогда мы увидим, что эта волна определяется потенциалом П, удовлетворяющим тому же дифференциальному уравнению (21), что П. Полным решением уравнений поля служит сумма двух полей, т. е. [c.590] Иными словами паши грагщчпые условия также разделяются на независимые условия для П и П. Таким образом, рассматриваемая нами дифракционная задача сводится к проблеме получения двух взаимно независимых решений волнового уравнения с заданными граничными условиями. [c.591] Так как иоле Е, Н является однозначной функцией координат, функция П также должна быть однозначной. Эго требование налагает определенные условия на 0 и Ф. [c.591] Решениями последнего уравнения служат присоединенные функции Лежандра, т. е. [c.591] Функции г ) (р) регулярны в каждой конечной области плоскости р, включая начало координат функции х, (р) имеют особенности в начале координат р О, где они обращаются в бесконечность. Поэтому для представления волны внутри сферы нужно использовать функции г 5г(р), а не /г(р). [c.592] Здесь Я — одна из функций Ханкеля ). Функции Ханкеля отличаются от других цилиндрических функций те 1, что в комплексной плоскости они равны нулю на бесконечности. Для функции с индексом 1 это справедливо в полуплоскости с положительным зпаченнем мнимой части р. Таким образом, именно такая функция оказывается подходящей для пp д тaвлeн].iя рассеянной волны. [c.592] Мы выразили оба потенциала в виде рядов, аналогичных ряду (40), и теперь легко определить неизвестные постоянные. [c.594] Этим завершается формальное реше,ние нашей граничной задачи. Мы не будем здесь заниматься вопросами существдвания и сходимости полученного решения. [c.596] Вернуться к основной статье