ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача Кеплера из "Динамика твёрдого тела " Как развитие аналогии, указанной в предыдущем параграфе, рассмотрим движение материальных точек, взаимодействующих по закону ньютоновского притяжения (точнее, его аналогу) на пространствах постоянной кривизны, в качестве которых мы выберем компактные двумерную и трехмерную сферы и З (кстати, А. Эйнштейн предлагал использовать как статическую модель реального мира). Хотя почти все изложенные результаты справедливы и для (некомпактного) пространства Лобачевского, мы не приводим их здесь подробно, ориентируясь лишь на приложения к динамике шарового волчка. В силу отсутствия группы преобразований Галилея такая небесная механика обладает некоторыми отличиями от плоской. Например, задача двух тел здесь не тождественна задаче о центральном поле. Более того, первая задача оказывается неинтегрируемой в отличие от второй. Тем не менее часть интегрируемых задач небесной механики плоского пространства (задача Кеплера, двух центров) обобщается и для искривленного пространства, а значит порождает интегрируемые шаровые волчки. [c.336] Известно, что в плоском случае алгебра интегралов задачи Кеплера является избыточной и кроме естественных интегралов углового момента X = Li,L2,Ls) содержит векторный интеграл Лапласа-Рунге-Ленца А [229, 31]. Как показано В. А. Фоком [169] и П.Баргманом, эти два векторных интеграла L и А образуют алгебру 0(4) для отрицательных и алгебру 0(3, 1) — для положительных значений энергии. [c.337] Аналогичный факт справедлив и для искривленного пространства — т.е. существует аналог вектора Лапласа-Рунге-Ленца, который, однако, образует с компонентами момента L, задаваемого соотношениями (10.9), не обычную алгебру Ли, а некоторую квадратичную алгебру, названную в [68] алгеброй Якоби. [c.337] При этом ньютоновский центр расположен в точке 71 = 72 = О, 73 = 1. Все траектории шарового волчка, соответствующего задаче Кеплера, являются периодическими (как для 6 , так и для З), при этом изображающая материальная точка движется в зависимости констант первых интегралов по коническому сечению [229, 240]. Можно рассмотреть различные возмущения задачи Кеплера — в частности, ограниченную задачу двух тел на 6 . В [200] показано, что последняя задача является хаотической, траектории не являются эллипсами, и имеется некоторое смещение перигелия, позволяющее нетрадиционным образом (не связанным с эффектами ОТО) интерпретировать результаты астрономических наблюдений. Доказательство отсутствия аналитических интегралов, по предположению авторов, было недавно получено С. Л. Зиглиным. [c.338] Вернуться к основной статье