ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Классический случай Гесса из "Динамика твёрдого тела " Используя первые две квадратуры, Н.Е.Жуковский [79] показал, что центр масс твердого тела движется по закону сферического маятника. Для нахождения угла собственного вращения р, как показывают последние два уравнения в (3.9), необходимо разрешить уравнение для I с зависящими явно от времени коэффициентами. Такой метод решения, видимо, ранее не приводился. Обычно, следуя П. А. Некрасову [131], определение собственного вращения сводят к решению уравнения типа Рикатти. [c.243] Для оправдания нашего решения отметим более простой вид последнего (3.9) по сравнению с (3.10). Оно еще более упрощается при с = 0. [c.243] Жуковский в [79] также указал еще несколько геометрических фактов относительно динамики полной системы в случае Гесса. [c.243] С помощью этого результата можно показать, что при нулевой постоянной площадей с = О средняя ось инерции движется по локсодроме. Вследствие такого характерного движения Жуковский ввел название локсодромического маятника (Гесса), указал практические условия осуществления такого движения и сделал механическую модель для его наблюдения [79]. [c.243] При h оо (либо Д 0) все сводится к обычному случаю Эйлера, при этом решение Гесса стремится к сепаратрисе перманентного вращения вокруг средней оси [92]. h ji. Центр масс совершает плоские колебания по закону физического маятника, а средняя ось движется согласно (3.11) по отрезку локсодромы. Решение при этом периодическое в абсолютном пространстве (одночастотное, как и решение Горячева, 5 гл. 2). На фазовом портрете (см. рис. 70 а,Ь,с) соотношение Гесса задает инвариантную кривую, целиком заполненную неподвижными точками, которая располагается внутри регулярного слоения. [c.244] При с 7 О исследование движения является существенно сложным и не может быть выполнено аналитическим образом. На рис. 71 приведена серия фазовых портретов, которые иллюстрируют эффект расхождения стохастических слоев (при уменьшении энергии h) вблизи решения Гесса, которое приобретает устойчивость. [c.244] При этом динамика абсолютного движения для малых энергий является трехчастотной, при увеличении энергии — движение по одной переменной будет носить асимптотический характер и остается всего две частоты. [c.244] Замечание 2. Если рассматривать возмущения задачи Эйлера-Пуансо при условиях Гесса, то оказывается, что пара сепаратрис, исходящих из неустойчивых перманентных вращений, не расщепляется при возмущении [92] (см. рис. 70f, 71 h). При этом интеграл (3.4) и определяет особый тор, заполненный двоякоасимптотическими траекториями, приближающимися к некоторым неустойчивым периодическим решениям, которые при Д О переходят в перманентные вращения вокруг средней оси. Такое описание динамики приведенной системы не противоречит результату Жуковского о квазипериодическом движении центра масс тела (3.9), так как система, описывающая движение центра масс, получается редукцией не по углу прецессии, а по углу собственного вращения вокруг оси, перпендикулярной круговому сечению. [c.244] Вернуться к основной статье