ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интеграл М3 с onst (интеграл Лагранжа) из "Динамика твёрдого тела " Жуковского о движении центра масс по закону сферического маятника в случае Гесса), типичных для движения тяжелого симметричного гироскопа. [c.221] Как известно, существование первых интегралов связано с наличием некоторого поля симметрий и с возможностью понижения порядка — по крайней мере локально. Это известная теорема Нётер, использование которой для гамильтоновых систем с линейными по импульсам интегралами связано с некоторыми упрощениями. Для простоты мы рассмотрим каноническую ситуацию, хотя рассуждения без труда переносятся и на общие уравнения Пуанкаре-Четаева, в частности, на уравнения динамики твердого тела в матричных реализациях групп Ли (задающих конфигурационные пространства). [c.221] В описанных далее понижениях порядка, которые уже выполняются глобально и алгебраическим образом, мы действуем по почти аналогичной схеме. По имеющемуся линейному интегралу записываются системы (1.2) и (1.3). Вследствие того, что система (1.3) отделяется, оказывается несложным указать ее первые интегралы, а также интегралы совместной системы (1.3). [c.222] Руководящей идеей далее является использование этого набора интегралов, как правило избыточного, в качестве новых переменных для первоначальной системы. Если алгебра новых переменных относительно скобок Пуассона является замкнутой (но, вообще говоря, нелинейной) и гамильтониан выражается только через эти переменные, то мы получаем новую гамильтонову систему, для которой циклический интеграл (1.1) является функцией Казимира, ранг скобок Пуассона падает на две единицы, т. е. система является приведенной. Преимущества описанной процедуры редукции, сохраняющей алгебраичность системы и ее различные динамические приложения рассматриваются в нашей книге [31]. Здесь мы только остановимся на ее использование в динамике твердого тела в трех различных вариантах, описываемых приведенными ниже теоремами. [c.222] Симметрии, приводящие к такому интегралу, являются естетственны-ми, они связаны с инвариантностью обобщенного потенциала относительно вращений вокруг некоторой неподвижной оси. К таким осесимметричным полям относятся однородные — в частности, поле тяжести. [c.223] Циклической переменной является угол прецессии ф, и уравнения движения могут быть представлены на алгебре е(3). [c.223] Скобка Пуассона в переменных (М, 7) определяется алгеброй е(3) (см. 1 гл. 2). Симплектический лист алгебры е(3) 7 = 1, (М, 7) = с диффео-морфен кокасательному расслоению к двумерной сфере S = 7 = Эта сфера, являющаяся конфигурационным пространством приведенной (по ф) системы, называется сферой Пуассона. [c.223] При с О при понижении порядка появляются дополнительные гироскопические члены, содержащие особенность, которая может быть интерпретирована как некоторый монополъ. В работе [133] введение монополя рассматривают как неканоническое искажение скобки Пуассона. [c.224] Здесь мы произведем редукцию на нулевую постоянную площадей в алгебраической форме, не меняя самой скобки — в этом случае особенность, соответствующая монополю, появится только в гамильтониане. [c.224] Замечание 2. Преобразование (1.7) было впервые указано нами в книге [31]. При этом мы старались усовершенствовать преобразование М М + су, с = М,у), применяемое в [133] для сведения на нулевую константу площадей, которое, однако, не сохраняет структуру е(3). [c.224] Замечание 4. Преобразование (1.13), как и система (1.10), были также указаны нами в книге [31] и в работе [30]. [c.226] Теорема 5. Система с тремя степенями свободы (1.9) и на уровне циклического интеграла Щ — М3 = с при понижении порядка переходит в систему на е(3) с нулевой постоянной площадей L, s) = О и функцией Гамильтона (1.14). [c.226] Заметим, что при описанной редукции в гамильтониане (1.14) при с О возникают дополнительные слагаемые, одно из которых можно интерпретировать как гиростатический момент, направленный вдоль оси динамической симметрии и сингулярное слагаемое, введенное в динамику Д. Н. Горячевым [63, 64]. [c.226] Если в динамике твердого тела симметрийное происхождение интеграла F = Мз неочевидно, то его смысл легко понять из аналогии с небесной механикой искривленного пространства, точнее, с движением материальной точки по сферам S , (см. 11 гл. 5). Этот интеграл как раз соответствует проекции кинетического момента частицы на неподвижную ось, относительно которой потенциал сохраняет осевую симметрию. [c.227] Геометрический смысл этих переменных очевиден вектор N составлен из компонент кинетического момента в неподвижной системе координат, ар — компоненты вектора оси симметрии в той же системе. [c.227] Редукция no интегралу Мз = onst и переменные (1.16) уже использовались нами в 4 гл. 3 для установления взаимосвязи между задачей Бруна при условии динамической симметрии и интегрируемым случаем Клебша уравнений Кирхгофа. [c.228] Вернуться к основной статье