ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Замечательный предельный случай уравнений Пуанкаре-Жуковского. Счетное семейство первых интегралов из "Динамика твёрдого тела " Система (3.1) описывает вращение тела в случае, если интенсивность вихря жидкости в полости мала по сравнению с кинетическим моментом (или наоборот). Можно также указать другие интерпретации этого предельного перехода, если использовать различные физические постановки задачи (см. 2), описываемые уравнениями (2.3). [c.199] Общее решение (3.1) имеет конечнолистное ветвление на комплексной плоскости времени при условии п = р/д, р, д 2. Это условие является также необходимым для существования дополнительного алгебраического интеграла [206]. [c.200] Физически факт отсутствия в общем случае у системы (3.1) достаточно хорошего (алгебраического, полиномиального) дополнительного интеграла связан с потерей симметрий, обусловленных гамильтоновостью (пуассонова структура является тензорным инвариантом). Тем не менее поведение траектории (3.1), (3.2) всегда является регулярным, показатели Ляпунова равны нулю и вещественно-аналитический интеграл формально существует. [c.200] Доказательство проводится по индукции. [c.201] Действительно, при п = 1, (/с = 0) частное решение определяется без труда. Оно соответствует постоянному собственному вектору матрицы Аъ, определенному нулевым собственным числом, т. к. det Аъ = = 23 31бЦ2 + Ь й2з + Ь азг + Ь аг2 = О, что как раз соответствует условиям (3.8) при п = 1. [c.201] Легко показать также, что интегралы системы (3.12), аналогичные 1г, 12, существуют при В = пА для любого значения п, интеграл же типа /4 будет существовать лишь при п = 1. Обобщить его при е ф О для других п = 2к + 1 = 3, 5,. .., видимо, невозможно. [c.204] Ак = Г bkj =Ък — Ъ], однако при проведении рассуждений п. 3 оказывается, что п 1 соответствующая индукция невозможна. [c.204] Отметим, что добавление в систему (3.1) постоянного гиростатического момента, т.е. построение обобщения задачи Жуковского-Вольтерра, не приводит к новой интегрируемой задаче уже при п = — 1. Вообще, вопрос о других возможных обобщениях счетного семейства интегралов /4 (например, на во(4), гиростат и пр.) пока не является решенным. Возможно, что их просто не существует. [c.204] Замечание 1. В общем случае для произвольных матриц А и В в (3.1) общий интеграл не является однозначным и ветвится на комплексной плоскости времени. [c.204] Существование таких сложных интегралов у системы (3.1) также связанно с потерей гамильтоновости, хотя последний факт не является достаточно обоснованным. [c.205] Замечание 2. Кроме случаев п = 1 для системы (3.1) при наличии интегралов (3.5), общее решение до сих пор не получено в квадратурах, не ясно также, выражается ли оно в эллиптических функциях. Не исследована также топология соответствующих уровней набора интегралов. [c.205] Это еще раз указывает на необходимость изучения уравнений (3.1), а также позволяет обобщить на уравнения (3.17) интегралы Д, /2, /3, /4. Пока такое обобщение, найденное в [36], известно лишь при А = 1, причем в обоих случаях можно рассматривать более общую ситуацию (3.12), соответствующую добавлению поля Бруна. [c.205] Вернуться к основной статье