ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случай интегрируемости с интегралом четвертой степени Адлер, П. ван Мёрбеке) из "Динамика твёрдого тела " Стеклова [273]. Необходимые и достаточные условия квадратичной интегрируемости были анонсированы А. П. Веселовым [50]. [c.192] Он получается из семейства (2.23) суммированием и последующей заменой параметров. [c.194] Семейство получающихся интегралов, зависящих от параметра Сг х) остается инволютивным на всем пучке (2.4), и при ж О они принимают форму (1.13), указанную в предыдущем параграфе. [c.194] Замечание 8. В работе [14] ретракция интегрируемых случаев выполнена несколько иным образом. При этом используется симметричная форма параметризации случаев Стеклова на во (4) при помощи эллиптических функций. [c.194] Общий случай интегрируемости, найденный М. Адлером и П. ван Мёрбеке [185], до сих пор является в динамике твердого тела наиболее сложным и наименее изученным. Он не имеет аналогов для уравнений Кирхгофа, а при ретракции гамильтониан вырождается в функцию Казимира алгебры е(3). [c.195] В оригинальной статье [185] дополнительный интеграл, имеющий четвертую степень, был указан в очень громоздкой и несимметричной форме. А. Рейман и М. Семенов-Тян-Шанский несколько позже указали для этого случая спектральное представление Лакса, использовав для его построения особую алгебру 02 [260]. В работе [24] аналогичная L - А-пара получена более естественным образом, соответствующая конструкция также связана с алгеброй 02 и наличием согласованной пуассоновой структуры. Однако получающийся из L — А-пары интеграл требует дополнительных и нетривиальных упрощений, проведенных нами — после которых и получается указанная в таблице 3.2 форма. [c.195] Отметим, что А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко в работе [127] имели все возможности найти этот случай с помощью развиваемого ими метода сдвига аргумента, но этому, видимо, препятствовал слишком формализованный и общий стиль рассуждений. Любопытно, что в своих последующих книгах А. Т. Фоменко (см. например, [166]), приводя этот случай, ссылается на работу [260], так и не замечая связи со своей конструкцией. [c.195] Для случая Адлера-ван Мёрбеке до сих пор неизвестны разделяющие переменные, не выполнен также топологический анализ. Его существование во многом связано с особой симметрией so(4), допускающей вещественное представление в виде прямой суммы so(3) so(3), он отсутствует на so(3,1) и не допускает многомерных обобщений. [c.195] Вернуться к основной статье