ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля-Арнольда из "Динамика твёрдого тела " Следующая теорема связывает интегрируемость гамильтоновой системы в квадратурах с наличием достаточно большого набора ее первых интегралов. [c.73] Замечание. Эта теорема в упрощенном варианте (утверждается только интегрируемость в квадратурах) была сформулирована Буром и обобщена Ж. Лиувиллем. Ее классическое доказательство имеется, например, в трактате Э. Уиттекера [167]. Приведенная формулировка теоремы принадлежит В. И. Арнольду [6]. [c.74] Переменные действие I нумеруют инвариантные торы Т = М/ в М , а переменные угол р равномерно на них меняются, вообще говоря, с п различными частотами шг,. .., Такое движение называется квазипе-риодическим. Переменные действие-угол имеют большое значение в теории возмущений. [c.74] ЛЮЦИИ и приводят к некоммутативной интегрируемости системы. В этом случае инвариантное многообразие М/ в компактном случае является тором размерности, меньшей п [132]. [c.74] В динамике твердого тела встречаются как коммутативные, так и некоммутативные наборы интегралов. Последние имеют место для вырожденных систем, обладающих избыточными симметриями (динамически симметричных и шаровых волчков). В этих случаях говорят также, что система является суперинтегрируемой. [c.74] Замечание 1. По теореме Якоби, согласно которой скобка Пуассона двух интегралов снова является интегралом, их полное семейство образует некоторую, вообще говоря, бесконечномерную алгебру Ли. Один из таких примеров рассмотрен в приложении. [c.75] Исследование алгебры интегралов необходимо также при различных способах редукции системы, то есть приведению к меньшему числу степеней свободы ( 1 гл. 4). Связь некоммутативной интегрируемости с редукцией Дирака обсуждается в книге [31] (см. также [32]). [c.75] Замечание 2. Предположение о компактности и связности М/ обычно выполняется в динамике твердого тела, вследствие компактности конфигурационного пространства, например, являющегося группой б О(З), и ограничений на импульсы, накладываемые интегралом энергии. [c.75] Замечание 3. Если на М/ интегралы становятся зависимыми, то их общий уровень не является, вообще говоря, гладким многообразием. В пространстве постоянных первых интегралов а,. .., Си.) эти значения образуют бифуркационные поверхности, явный вид которых изучен для большинства известных интегрируемых систем [25] (см. гл. 2). [c.75] Теоретически интегрируемость гамильтоновой системы в квадратурах не обязательно может быть связана с наличием необходимого количества первых интегралов. Она может быть обусловлена полями симметрий, различными инвариантными формами и другими тензорными законами сохранения [31, 83]. Содержательные примеры, однако, относятся лишь к частным сочетаниям таких тензорных инвариантов. Сейчас мы рассмотрим еще одну типичную ситуацию. [c.75] Вернуться к основной статье