ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пространственная группа как центральное расширение группы с помощью группы из "Пространственная симметрия и оптические свойства твёрдых тел Т.1 " Группа , имеющая нормальный делитель X, факторгруппа по которому есть / = ф, является расширением группы с помощью группы ф. Чтобы полностью определить структуру группы , необходимо задать 1) нормальный делитель X, 2) факторгруппу ф, 3) систему автоморфизмов группы X, соответствующих каждому элементу в ф, 4) систему факторов. Далее мы покажем, как применять математическую теорию расширения групп ) к пространственным группам. [c.40] Почленное сравнение полученных выражений показывает, что элементы системы факторов удовлетворяют равенству (7.17). [c.42] Для системы автоморфизмов выполняется правило (7.12), а для системы факторов — правило (7.17). Следовательно, определяющие свойства пространственной группы удовлетворяют условиям теоремы Шрейера. Поэтому пространственная группа является центральным расширением группы X с помощью группы ф [20]. [c.43] Соответственно математическая задача отыскания всех пространственных групп оказывается тождественной задаче о нахождении всех групп трансляции X, всех точечных групп ф и всех центральных расширений. Эта задача давно была полностью решена Шенфлисом и Федоровым. Результаты, и полное перечисление 230 кристаллографических пространственных групп приведены в книге [7]. Мы будем использовать эти результаты по мере необходимости. При этом мы будем пользоваться как обозначениями Шенфлиса, так и Сокращенными обозначениями Германа — Магуина [16]. [c.43] Пространственных групп методом проективных представлений ( 41—44). Поэтому в 41—44 мы будем ссылаться на настоящий параграф. [c.44] В остальных 157 несимморфных пространственных группах все (или хотя бы некоторые) %а Ф 0. Эти группы являются центральным расширением группы X при помощи группы ф общего вида. [c.44] Очевидно, детальное установление всей системы факторов требует их нахождения только для 24 трансляций (фд-т + Ьт), так как именно они являются определяющими в (9.10) и (9.12). Кроме того, далее будет показано, что трансляции в (9.12) просто выбираются из малого набора нулевой трансляции и трансляции на один из базисных векторов (гранецентрирован-ного кубического) кристалла (см. 126). [c.46] Из структуры пространственной группы с очевидностью следует, что пространственная группа имеет целый набор подгрупп. В последующем изложении в этой книге у нас будет случай использовать некоторые из этих подгрупп. [c.46] Для симморфных пространственных групп наиболее полезной с точки зрения применения теории представлений является точечная группа ф. [c.47] Очевидно, фа будет подгруппой группы ф = 1Х. Далее, поскольку а есть подгруппа группы , можно выполнить разбиение на смежные классы по а. [c.47] 7) представители смежных классов включают, как обычно, элементы, входящие в , но не входящие в а также имеется обычный произвол в выборе трансляционной части операторов вида фр (фр) . Так как группа а имеет все обычные свойства групп, то она имеет полный набор классов, возможные подгруппы и т. д. [c.47] Настоящая глава посвящена общей теории неприводимых представлений и неприводимых векторных пространств для конечных групп. Предполагается знакомство читателя с элементарными сведениями из теории представлений конечных групп [1—3] эти сведения будут кратко изложены (для удобства читателя и для введения обозначений) в 12—18. [c.49] Для установления связи, между функциями и представлениями необходимо ввести в рассмотрение операторы преобразований, действующие в векторном пространстве функций. Рассматриваемая группа операторов гомоморфна, совокупности операторов преобразования координат, составляющих пространственную группу кристаллов. [c.49] Обратимся теперь к содержанию последующих глав 4 и 5. Каждая пространственная группа содержит нормальную подгруппу трансляций Поскольку группа X абелева (в действительности является прямым произведением трех циклических групп), ее неприводимые представления и неприводимые линейные векторные пространства одномерны. Неприводимые представления характеризуются волновым вектором к и бло-ховским вектором [21]. Набор допустимых значений к заполняет первую зону Бриллюэна кристалла и характеризует все неприводимые представления группы 3 . [c.49] Все это рассмотрение базируется на предположении о том, что операторы преобразований являются линейными и унитарными (такие операторы возникают при рассмотрении преобразований чисто пространственной симметрии). Для учета симметрии по отношению к обращению времени необходимо рассматривать антиунитарные, антилинейные операторы. Эт 1 операторы задают полулинейные представления, или, как их назвал Вигнер, копредставления . Структура этих представлений устанавливается и обсуждается в гл. 9. [c.50] Рассмотрение электронов или в общем случае спинорных частиц усложняется вследствие необходимости расширить группу операторов преобразований, чтобы включить преобразования векторных индексов, происходящие, когда блоховский вектор пробегает свои значения в базисном векторном функциональном пространстве (если блоховский вектор не просто скалярная функция, а имеет спинорные индексы). Излагаемый здесь материал допускает такое обобщение. [c.50] Читателю, не знакомому с материалом, изложенным в 12—18, рекомендуется пополнить свои знания, обратившись к учебникам [1—3] ), прежде чем продолжать изучение этой книги. [c.50] Пусть (г) —скалярная функция пространственной переменной г в конфигурационном пространстве. Это означает, что в каждой точке г конфигурационного пространства определено (или известно) значение функции г1з. [c.50] Во всех случаях (12.2) — (12.4) следует понимать как соотношения между функциями. Операторы Рз, если н оговаривается специально другое,— это всегда линейные и унитарные операторы. [c.51] Вернуться к основной статье