ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О существовании областей неустойчивости в динамике из "Динамические системы " В частности, в непосредственной окрестности периодического движения можно рассматривать независимую переменную 1 как и периодическую (угловую) координату периода 2тг, аН — как периодическую функцию этой переменной, причем само периодическое движение будет соответствовать траектории р = д = ) ъ пространстве р, д, 1). [c.327] Отметим здесь, что почти все рассуждения, содержащиеся в этом мемуаре, остаются справедливыми в случае, когда Т выражается непрерывными функциями, имеющими непрерывные производные любого порядка. [c.327] При помощи преобразования Т мы можем поставить основную проблему устойчивости в следующей форме будем повторять бесконечно преобразование Т (или Т ) и рассмотрим последовательные образы некоторой точки Р. находящейся от инвариантной точки (О, 0) на расстоянии, меньшем Всегда ли можно выбрать 8 настолько малым, чтобы все эти образы лежали на расстоянии, меньшем О от этой точки, где — произвольно заданное, сколь угодно малое число Если это так, то движение будет устойчивым в строгом смысле этого слова. До сих пор эта весьма трудная проблема еще не разрешена во всей своей общности. [c.328] Как отметил еще Пуанкаре , для того, чтобы в каком-нибудь данном случае имелась устойчивость в указанном выше смысле, необходимо и достаточно, чтобы вокруг инвариантной точки существовали инвариантные кривые сколь угодно малого диаметра. В этом случае мы можем, очевидно, найти бесконечную последовательность /i,/2,. инвариантных кривых, сходящуюся к этой точке. [c.329] В интегрируемом случае ряды р, q будут сходящимися и мы будем иметь аналитическое семейство инвариантных кривых /, а именно кривых р +7f = onst. Это, следовательно, будет простым примером случая, когда имеется устойчивость в строгом смысле слова. [c.329] их пор ни разу не было доказано существование таких кольцеобразных зон неустойчивости. Главной целью этой статьи будет доказательство их существования, при условии, что преобразование Т — аналитическое и что функции Н принадлежит к классу Соо, хота, быть может, и не является аналитической. [c.331] Если бы можно было пойти далее и доказать существование такой зоны вокруг начала (т.е. для случая, когда одна из кривых Д, /2 обращается в кривую г = 0), то проблема устойчивости была бы разрешена в отрицательном смысле. [c.331] Условие для того, чтобы какое-нибудь преобразование, выраженное посредством этих координат, сохраняло площади, заключается в том, чтобы соответственный функциональный определитель был равен единице( ). [c.331] Выберем постоянную а таким образом, чтобы она была отрицательной, но большей, чем —с (—с сг 0). В этом случае преобразование То оставляет инвариантным не только начало, но и все точки окружности р = - 1 в круговой области /э 1. [c.331] Для к достаточно малых мы видим, что это преобразование является прямым, одно-однозначным и аналитическим, и что оно приводится к тождественному преобразованию для к = 0. Кроме того, начало координат и точки окружности р = 1 остаются инвариантными, и площади сохраняются при преобразовании для всех значений к, что можно показать непосредственным вычислением функционального определителя. [c.332] Следовательно, преобразования Щ действительно обладают всеми указанными выше свойствами. [c.332] Мы не будем применять эти последние уравнения в непосредственной окрестности начала координат. [c.332] Для того, чтобы доказать утверждение /, заметим, что при малых к радиальные направления поворачиваются указанным образом по крайней мере для точек, близких к началу координат, потому что разложения Р1, 1 в ряды по степеням р, д имеют члены не выше четвертой степени, не зависящие от к, и изменяются как аналитические функции от к. С другой стороны, угол, на который поворачивается радиальное направление влево, будет аналитической функцией от р, д. исключая начало координат эта функция положительна при к = О (за исключением начала координат) и, следовательно, будет положительной вне некоторого круга р = 5 О при достаточно малых к. [c.333] Для доказательства утверждения (g) нужно рассмотреть инвариантные точки преобразования Т].. Очевидно, что такие точки при малых к могут существовать только в окрестности точки р = О или окружности р = дающих инвариантные точки преобразования То. Точка р — О является простой инвариантной точкой преобразования Го. Следовательно, при малых к всякая инвариантная точка преобразования Ти- лежащая в окрестности точки р = О, получается посредством аналитической вариации из начала координат. Но так как начало координат само есть инвариантная точка преобразования Т при всяком к, то отсюда следует, что Т, не имеет никаких других инвариантных точек в окрестности начала координат, кроме самого начала. [c.333] Здесь Д, /2,. .., gx, g2, суть аналитические фупкции р. [c.334] Здесь коэффициенты Ех, Е2,. .., Ех, Е2,. .. постоянные числа. [c.334] Это уравнение имеет два комплексных сопряженных корня. Соответственная инвариантная точка будет также простой, но устойчивой с формальной точки зрения, во всяком случае, если мы выберем к таким образом, что эти корни не будут корнями п-й степени из единицы. [c.335] Следовательно, определенное таким образом преобразование Т будет обладать всеми указанными свойствами. [c.335] Я утверждаю, что пе может существовать только одна кривая этого рода. [c.335] В противном случае эта кривая содержала бы две из асимптотических ветвей, исходящих из неустойчивой точки, и мы имели бы одну из двух возможностей, показанных на рис. 15. [c.335] Вернуться к основной статье