ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Частица на гладкой замкнутой поверхности повсюду отрицательной кривиз. 4. Задача трех тел из "Динамические системы " Многообразие состояний в этом случае, очевидно, замкнуто. Однако для таких общих выпуклых поверхностей нет оснований ожидать группировки движений в замкнутые семейства, как в случае эллипсоида. [c.320] Строение секущей поверхности и преобразования Т здесь несколько сложнее, чем в предыдущей задаче. Прежде всего наглядным образом усматривается, что существует кратчайшая длина для замкнутой кривой, такой, что выпуклое тело пролезает сквозь эту кривую. Кривая С этой длины должна быть натянута вокруг поверхности, и в этом положении она образует замкнутую геодезическую линию. Состояния движения, соответствующие пересечению кривой С, образуют две секущие поверхности надлежащего типа с относящимися к ним преобразованиями Т. Полное рассмотрение движений в произвольно заданном случае кажется почти невозможным, так как бесконечные процессы, которые при этом участвуют, нельзя фактически провести. В действительности мы могли бы получить очень хорошее представление об этом, если бы знали все инвариантные области на 3. [c.321] Однако кажется почти несомненным, что в общем случае таких областей на 3 не существует. В этом случае можно доказать а) что существует бесконечное плотное в себе множество периодических дви- кений Ь) что асимптотические дви кения всех мыслимых типов всюду плотны с) что существуют движения, проходящие сколь угодно близко от любого состояния, и т. д. Таким образом, мы и здесь получим довольно удовлетворительный обзор типов движения и их взаимоотношений. Разумеется, здесь мы имеем дело с более сложным случаем, чем в случае интегрируемом ( ). [c.321] Этот пример имеет совершенно другой характер, чем два предыдущих, так как здесь не существует периодических движений устойчивого типа. Как легко доказать, в этом случае существует не только всюду плотное множество периодических движений, но и другие типы рекуррентных движений, а также движения, проходящие сколь угодно близко от любого состояния, и т. д. Здссь имеется алгоритм, дающий возможность обозреть все движения. [c.322] В этом случае кажется невозможным построить полную секущую поверхность с соответствующим точечным преобразованием Т. Несмотря на это, природа движений известна почти в такой же степени, как в периодическом случае( ). [c.322] Три предыдущих примера были геодезического типа. Это не является, однако, действительным ограничением, так как все обычные динамические задачи могут быть формулированы как геодезические. [c.322] Здесь мы будем считать данными десять постоянных интегрирования, соответствующих десяти известным интегралам. Мы допустим далее, что не все три постоянные площадей равны нулю. [c.322] Важный факт состоит в следующем кривая движения этого многообразия состояний, содержащая точку, для которой все три расстояния малы, должна при возрастании или убывании времени уходить в бесконечность. В единственном, с качественной точки зрения трудном случае полная энергия недостаточна для того, чтобы бесконечно удалить все тела друг от друга. В этом случае одно и только одно тело удаляется от двух других. На этих основаниях в многообразии состояний должны существовать три течения из бесконечности в бесконечность. Можно думать, что в общем случае все точки этого моря приносятся одним из этих течений, чтобы потом опять в одном из них уйти в бесконечность. Только некоторые периодические, рекуррентные и асимптотические к ним движения могут быть другого типа( ). [c.322] В этих четырех примерах я упомянул лишь о некоторых из важнейших до сих пор известных свойств. Более глубокое рассмотрение дало бы нам дальнейшие результаты, касающиеся природы и распределения возможных движений. [c.322] После этих подготовительных замечаний мы можем формулировать некоторые, в настоящее время нерешенные проблемы теоретической динамики. Вначале мы говорили о связи ме кду периодичностью и устойчивостью. Однако такая связь не имеет места, если идею периодичности не обобщить надлежащим образом. [c.323] Существуют два рода таких обобщений. Вспоминая наш первый пример, легко понять оба эти рода обобщений. [c.323] Во-первых, мы заметим, что с течением времени каждое движение приближается к периодическим по крайней мере в этом специальном примере. Если многообразие состояний замкнутое, то существует замкнутое множество Мх, к движениям которого приближаются все остальные движения. Чтобы точнее определить Мх, рассмотрим небольшую частицу( ) в М. Может случиться, что с течением времени эта частица никогда не вернется к ее исходному положению. Соответствующие движения называются тогда блуждающими ( ). Мно кест-во Мх есть как раз множество неблуждающих движений. Теперь мы можем определить движения М2, не блуждающие относительно Мх-Таким образом, возникает счетная, вполне упорядоченная последовательность М, Мх, М2,. .., оканчивающаяся на некотором Мг = Мг+х, где г — порядковое число в смысле Кантора. В течение всякого движения точка почти всегда находится вблизи этого множества центральных движений( ). Если многообразие состояний двухмерно, то легко доказать, что г 2. Однако при большем числе измерений п я пс думаю, чтобы было г п. [c.323] Поэтому я формулирую следующим образом нашу первую проблему. [c.323] Проблема I. Построить динамическую задачу с трехмерным эалтну-тым многообразием состоянии таким образом, чтобы порядковое число г центральных движений было 3. [c.323] Существуют другие важные проблемы, касающиеся строения центральных движений. [c.323] Второе обобщение периодических движений возникает так. Никакое периодическое движение не приближается к другому движению. Мы можем называть рекуррентными те движения, пути которых плотны в минимальном замкнутом множестве других движений, не содержащем никаких подмножеств того же рода. Существование таких рекуррентных движений и их квазипериодические свойства легко доказать. Основная теорема гласит, что всякое устойчивое движение равномерно часто подходит близко к таким рекуррентным движениям( ). [c.323] Существует много важных вопросов о строении рекуррентных движений. Но первый и важнейший вопрос относится к одним периодическим движениям и может быть сформулирован так. [c.323] Если это предположение правильно, то всякое движение такой гамильтоновой системы всегда совершается вблизи периодических движений. Я не думаю, чтобы это же имело место в случае многих степеней свободы. Я предполагаю, что рекуррентные дви кения всюду плотны. Поэтому и формулирую третью проблему следующим образом. Проблема III. В случае любой гамильтоновой задачи с замкнутым многообразием состояний доказать всюду п.яотность рекуррентных движений. [c.324] Мы должны здесь сделать несколько подготовительных замечаний. В первоначальной форме этой теоремы речь идет о преобразовании Т двумерного кольца в самого себя. Для применения этой теоремы к какой-либо динамической проблеме необходимо было поэтому найти полную секущую поверхность S, ограниченную двумя периодическими кривыми движения. Но в случае многих степеней свободы такой секущей поверхности не существует, если нет замкнутого инвариантного семейства кривых движения. Однако существования такого семейства нельзя ожидать. Для возможности динамических приложений мы должны поэтому найти обобщение теоремы, относящееся лишь к преобразованию вблизи неподвижной точки. Такие преобразования всегда имеются. [c.324] Вернуться к основной статье