ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О динамической роли последней геометрической теоремы Пуанкаре из "Динамические системы " Будем рассматривать р, д, г как прямоугольные координаты точки в трехмерном пространстве. [c.306] Предыдущие уравнения определяют направление линии тока в любой точке пространства. Движения динамической системы изображаются линиями тока трехмерной жидкости, находящейся в стационарном движении. [c.306] Рассмотрим плоскости г = О и г = 2тг. Две точки этих плоскостей, имеющие одинаковые координаты р и д, мы будем считать совпадающими они соответствуют одному и тому же состоянию движения, вследствие периодичности переменной т. [c.306] Возьмем в плоскости г = О точку Р с координатами р, д) и проследим линию тока, исходящую из Р до точки Рх с координатами рх, дх), лежащей в плоскости г = 2тг. Соотнося таким образом каждой точке Р соответствующую точку Рх, мы получаем преобразование Т плоскости [р, ч) в самое себя. Для этого преобразования начало координат является инвариантной точкой. [c.306] Это означает, что поток, для которого Р, Q, К суть составляющие скорости, является потоком несжимаемой жидкости. [c.306] Если Н является аналитической функцией от р, д, г, то рх, дх будут аналитическими в р, д. Подобным же образом, если Н непрерывно вместе со всеми своими частными производными любого порядка, то Рх, дх будут иметь непрерывные частные производные любого порядка по р, д. [c.307] Теперь возникает интсрссный вопрос о том, существует ли обратно динамическая задача рассматриваемого типа для каждого такого преобразования Т. В связи с этим мы докажем следующую теорему. [c.307] Было бы чрезвычайно интересно доказать подобную же теорему для аналитических функций. [c.307] Получающееся преобразование зависит от параметра г, оставляет на месте начало координат, одно-однозначно преобразует окрестность последнего в самое себя и переводит точку (р, д) в точку (рх, дх), когда г возрастает от О до 2тг. [c.307] Это преобразование, очевидно, периодично в желательном смысле и оставляет на своих местах точки плоскостей г=2кж к=0, 1, 2,. ..). В новых переменных инвариантный интеграл запишется просто как обычный объемный интеграл /// (1р(1д 1г. [c.309] Другими словами, данное преобразование, сохраняющее площади, соответствует динамической задаче рассматриваемого тина. [c.309] Это замечание показывает, что в случае преобразования, рассматриваемого Пуанкаре в его последней геометрической теореме, свойство сохранять площади действительно является характерным для этого преобразования. Оно показывает также, как динамическая задача может приводить скорее к рассмотрению преобразования вблизи инвариантной точки или вблизи замкнутой инвариантной кривой, в которую такая точка может быть растянута, чем к преобразованию, определенному во всем кольце, как требуется в теореме Пуанкаре. По этой именно причине я видоизменил теорему Пуанкаре, распространив ее на преобразования этого более общего типа, которые представляются более пригодными для многих динамических прило кений. Действительно, более подробное рассмотрение этих приложений показывает, что для многих целей видоизмененная теорема Пуанкаре достаточна, если только аналитические детали исследованы . [c.309] С точки зрения топологии трансляционную теорему Браувера о преобразованиях плоскости можно рассматривать как трактующую вопрос о топологических отображениях сферы с одной единственной инвариантной точкой. Аналогичным образом надлежащее обобщение теоремы Пуанкаре бросает свет на морфологию любого такого преобразования с двумя инвариантными точками. Важный новый метод исследования, изобретенный Керекьярто( ), как кажется, дает возможность рассматривать эти и другие подобные вопросы на общей основе. [c.310] Вернуться к основной статье