ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Возможность соударения из "Динамические системы " Рассмотрим эту возможность в свете элементарных теорем существования. [c.266] Остающееся открытое многообразие простирается в бесконечность и ограничено многообразиями ri = 0. [c.266] Согласно результатам, полученным в главе I, любое данное движение мы можем безгранично (аналитически) продолжать за исключением того случая, когда при приближении t к некоторому критическому значению t соответственная точка Г стремится к границе вышеуказанной открытой области. [c.266] Аналитическое продолжение какого-нибудь данного движения в проблеме трех тел всегда возможно, если только при приближении времени I к некоторому значению I наименьшее из трех взаимных расстояний не стремится к нулю. [c.266] Сейчас нам целесообразно вернуться к рассмотрению равенства Лагранжа (15). Когда t приближается к , то и стремится к положительной бесконечности. Следовательно, если мы представим как функцию от 1 на плоскости, взяв Ь и за прямоугольные координаты, то соответствующая кривая будет обращена вогнутостью вверх при достаточно близком к I. Следовательно, либо делается бесконечным, либо стремится к конечному положительному пределу, либо к нулю. [c.267] Первый из этих случаев, очевидно, невозможен, так как тогда одно из тел удалялось бы бесконечно далеко от двух других, которые стремились бы к совпадению, когда 1 приближается к а такое положение вещей невозможно благодаря тому, что силы, действующие на далекое тело, ограничены по величине. [c.267] Во втором случае очевидно, что при приближении 4 к какое-то одно определенное из расстояний стремится к нулю, тогда как два других стремятся к одному и тому же предельному значению. Это есть случай соударения двух тел. Так как силы, действующие на третье тело, конечны в моменты, близкие к соударению, то оно приближается к определенному предельному положению и следовательно, два других (соударяющихся) тела тоже стремятся к определенному положению, потому что центр тяжести системы фиксирован в начале координат. [c.267] В третьем случае мы имеем, разумеется, тройное соударение, которое произойдет в начале координат. Если, однако, постоянная / не равна нулю, то тройное столкновение не может произойти это следует тотчас же из формулы (22). В самом деле, мы видим, что с1 В )/сИ будет отрицательным при t, близких к в случае тройного столкновения, так как (РВ /сИ положительно, согласно равенству Лагранжа (15). Следовательно, Н будет убывать вместе с В (или по крайней мере не возрастать), когда Ь стремится к I. Но рассмотрение выражения Н [формула (21)] показывает нам, что при / О Д делается положительно бесконечным, когда В. приближается к нулю. Таким образом, мы пришли к противоречию. [c.267] Когда 1 приближается к I, то либо имеет место двойное соударение определенных двух тел в определенной точке, причем третье тело приближается к определенной точке, отличной от точки соударения, или же тройное соударение всех трех тел в их общем центре тяжести. Если, однако, / не равно нулю, т. е. если постоянные площадей данных трех тел не все равны нулю, то тройное соударение не может произойти ни при каком Ь. [c.267] С этого момента мы будем предполагать, что / О, и, таким образом, исключим тройное соударение. [c.267] Вернуться к основной статье