ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Распределение движений асимптотических к периодическим движениям из "Динамические системы " Мы не будем пытаться дать здесь формулировку условий, при которых возможно действительно построить такую секущую поверхность 8. Подробности такого построения будут, по видимому, различными для различных случаев (см. главу VI), и их рассмотрение вряд ли дало бы нам особенно много. Такие секущие поверхпости 8 и связанные с ними преобразования Г существуют в весьма широких классах проблем. [c.234] Кроме того, мы сделаем предположение, что паша динамическая система транзитивна. Эта гипотеза, несомненно, справедлива в некоторых случаях, как показывает пример, приводимый ниже в 11, и, по всей вероятности, справедлива вообще, если только пе имеются исключительные условия. Однако же, так как присутствие хотя бы одного устойчивого периодического движения, очевидно, влечет за собой ин-транзитивность, этот вопрос не может быть разрешен, пока пе решена проблема устойчивости. [c.234] Если мы теперь интегрируем гипотезу транзитивности на поверхности 8, то она будет означать, что каковы бы ни были точки Ро и Qo на этой поверхпости, всегда можно пайти сколь угодно близкие к этим точкам точки Р, Q и целое число п такие, что Q = Т Р). [c.234] Следовательно, множества и Е , асимптотические к рассматриваемой инвариантной точке при преобразованиях соответственно Т и Т. оба всюду плотны на сскущсй поверхности S. [c.235] Мы уже видели ( 1,2 главы VIII), что вблизи такого периодического движения устойчивого типа существует бесконечное мпо кество других периодических движений устойчивого типа, соответствующих инвариантным точкам поверхпости S относительно какой-нибудь степени Г преобразования Г. Рассмотрим какое-нибудь такое движение, которое будет общего устойчивого типа с переменными периодами в формальных рядах. Для него существуют множества EJ и которые оба должны быть также всюду плотны в S. Но множества Е и пе имеют общих точек, поскольку одно и то же движение не может быть асимптотическим к двум различным периодическим движениям в одном направлении (в данном случае в направлении отрицательных t). Аналогично не могут иметь общих точек множества Е и E . [c.235] В случае транзитивной системы с двумя степенями свободы, если существует периодическое движение общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, то существует бесконечное множество других периодических движений общего устойчивого типа. Движения, положительно или отрицательно асимптотические к какому-нибудь из периодических движений этого бесконечного множества, образуют множества, всюду плотные в S. Существует бесконечное множество движений, асимптотических в направлении положительных t к одному иэ этих периодических движений и в то же время асимптотических в направлении отрицательных t к любому другому периодическому движению этого множества или даже к тому же периодическому движению. [c.235] Мы рассмотрим теперь периодические движения неустойчивого типа и движения, асимптотические к ним. [c.235] Кроме того, рассуждая как прежде, мы можем показать, что существует бесконечное множество движений, асимптотических в положительном направлении к заданному периодическому движению общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, или к заданному периодическому движению общего неустойчивого типа, имеющему двояко-асимптотичсскис движения, и в то же время асимптотических в отрицательном направлении к заданному периодическому движению одного из этих двух типов. [c.236] Очевидпо, что если две дуги положительно и отрицательно асимптотических типов для такого периодического дви кения неустойчивого типа пересекают сетку одного движения устойчивого типа, то они будут пересекать все такие сетки, а также друг друга. [c.236] Отсюда следует, что если мы докажем, что все четыре дуги, исходящие из инвариантной точки, пересекают эти сетки, то, очевидно, мы сможем распространить заключения, сделанные нами выше относительно движений, асимптотических к периодическим движениям устойчивого типа, на периодические движения неустойчивого типа. Мы докажем сейчас, что это действительно имеет место при условии, что, во-первых, асимптотическая аналитическая дуга, исходящая из одной инвариантной точки неустойчивого типа, не будет тождественна дуге, исходящей из другой такой точки, и, во-вторых, что в нашей системе пе существует периодического движения общего устойчивого типа с неизменными периодами в формальных рядах. Случай, когда одно из этих условий не удовлетворяется, нужно считать совершенно исключительным. Мы будем проводить рассуждения только для того случая, когда в нашей системе не имеется кратных периодических движений, хотя заключение остается справедливым при гораздо более общих условиях. [c.236] Но теперь очевидно, что Е должно содержать по крайней мере две дуги, асимптотические (противоположного типа) к этой инвариантной точке, если только первоначально продолженная дуга пе совпадает с одной из этих дуг. Но эта последняя возможность была тоже исключена. [c.237] Очевидпо, что эти новые дуги в Е не пересекают сеток, принадлежащих к периодическим движениям устойчивого типа, и мы, следовательно, можем взять какую-нибудь одну из них, образуя, таким образом, совокупность Е1 в Е. Продолжая далее этот процесс, мы придем, в конце концов, к множеству Е в Е, содержащему минимальное количество инвариантных точек, соответствующих периодическим движениям неустойчивого типа, и асимптотических дуг. Любая дуга в таком множестве Е, продолженная исходя из инвариантной точки, должна, следовательно, иметь эту точку в качестве предельной, и будут существовать по крайней мере две такие дуги противоположных типов, асимптотические к одной и той же инвариантной точке. [c.237] Рассмотрим отдельно случаи, когда будут существовать две, три или четыре такие дуги, асимптотические к инвариантной точке I (рис. 8). [c.237] Предположим теперь, что три дуги, например, J одного типа и 1М, 1М другого, лежат в Е. Отсюда следует, как выше, что продолжение пересечет МЬЬ х и М Ь Ь х. Но, если продолжение дуги 1,7 пе пересекает пи 1М. ни 1М, то из топологии фигуры очевидпо, что 1М пересечет, 1К К[ и также 1М пересечет Л Кх. Таким образом, 1М и 1М должпы обязательно пересекаться, что невозможно, так как эти дуги принадлежат к одному и тому же тину. [c.238] Мы можем теперь формулировать паше заключение. [c.238] Предположим, что для какой-нибудь динамической проблемы транзитивного типа с двумя степенями свободы имеется секущая поверхность 3 рода один. Предположим, кроме того, что все периодические движения общего устойчивого типа содержат переменные периоды в своих формальных рядах и что никакие два аналитических асимптотических семейства, связанных с различными периодическими движениями неустойчивого типа, не совпадают. [c.238] При этих условиях каждое из этих асимптотических семейств плотно в М и имеется бесконечное множество движений, асимптотических в обоих направлениях к двум любым различным или совпадающим) периодическим движениям, безразлично устойчивого или неустойчивого типа. [c.238] Сделанное нами специально предположение о несуществовании кратных периодических движений несущественно для доказательства этого предложения оно было сделано для упрощения доказательства. [c.238] Высказанный результат делает очевидной некоторую аналогию между движениями устойчивого и неустойчивого типа. [c.239] Вернуться к основной статье