ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Распределение периодических движений устойчивого типа из "Динамические системы " Для неинтегрируемых гамильтоновых систем общего типа гп = 2) совокупность периодических движений общего устойчивого типа в М плотна в себе. [c.219] Отметим, что эта теорема представляет собой некоторое уточнение результата, полученного в 1 3 главы VI, согласно которому в любой окрестности такого периодического движения устойчивого типа лежат другие псриодичсскис движения устойчивого или неустойчивого типа. [c.219] Начнем с того, что напомним утверждения, сформулированные в лемме 1 главы VI. Мы показали там, что если нам дана сколь угодно малая окрестность начала координат г р г, д — полярные координаты), то мы можем найти такое целое число п, что, во-первых, все точки области г р остаются в области г 2р при преобразованиях Т, Г ,. .., Г и, во-вторых, д п/Ого положительно при г р, причем значение при г = р по крайней мере на 2тг больше, чем при г = 0. Легко доказать подобными же рассуждениями, что и дгп/дгд и д дп/д до положительны при тех же условиях. [c.219] Исследуем вопрос об индексах вышеупомянутых инвариантных точек. Для этого можно рассматривать гиг как прямоугольные координаты точки на плоскости (рис. 5). Здесь I обозначает инвариантную точку, в которой кривая Сп пересекает С, переходя из внутренней области, образуемой кривой С, во внешнюю, если мы будем двигаться по Сп в направлении возрастающего д. [c.220] Если какая-нибудь точка Р описывает в положительном направлении цикл вокруг I, например, вдоль квадрата КЬММ, то из сказанного выше следует, что вектор РР будет иметь горизонтальную составляющую, направленную вправо, когда точка Р находится над кривой С, и влево, когда точка Р находится под кривой С. В точках Q и В, вектор РРп будет направлен соответственно вверх и вниз. Отсюда очевидно, что когда Р описывает этот цикл, вектор РР поворачивается на угол —2тг, так что индекс точки I будет —1 в то же время инвариантная точка J, в которой кривая С пересекает С в противоположном направлении, имеет индекс +1. [c.220] Но согласно нашим предположениям периодические движения, соответствующие точкам I и не кратные. Если они принадлежат к устойчивому типу, то число (т не будет для них соизмеримо с 2тг. Соответствующие нормальные формы будут либо типа (3), где ц положительно или отрицательно, но не равно 1, либо типа (2). [c.220] Отсюда мы заключаем, что точка I соответствует периодическому движению неустойчивого типа, по относительно точки J пока еще неясно, какого она типа. [c.221] Этот вывод завершает доказательство для общего случая, когда пе имеется кратных периодических движений и I ф 0. [c.221] Если первоначальное периодическое движение принадлежит к устойчивому типу, по пе к тому совершенно исключительному формальному виду, когда отсутствуют переменные периоды, то, как мне кажется, можно ожидать, что будут существовать близкие периодические движения устойчивого типа. [c.221] Этот исключительный случай заслуживает особого внимания возможно, что он может появиться только в интегрируемой проблеме. [c.221] Вернуться к основной статье