ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Формальная классификация периодических движений из "Динамические системы " Для систем этого рода мы имеем сначала четырехмерное многообразие состояний движения с координатами рх, д, Р2, 42- Однако, выбирая какое-нибудь опрсдслснпос значение постоянной эпергии Н = к, мы определяем таким образом в пашем чстырехмериом многообразии трехмерное аналитическое подмногообразие. Это трехмерное многообразие мы и будем рассматривать в дальнейшем как многообразие состояний движения. Иными словами, используя интеграл энергии, мы приведем систему дифференциальных уравнений четвертого порядка к системе третьего порядка. [c.213] Мы ограничимся рассмотрением только тех случаев, когда М не имеет особенностей, т.е. является замкнутым и аналитическим многообразием, и, кроме того, будем считать, что М не содержит точек равновесия системы, потому что такие точки существуют лишь при исключительных значениях величины к. [c.213] Существует весьма важный частный случай, когда мы можем указать на некоторые характеристические свойства преобразования Т, основываясь на полученных уже результатах. Это случай, когда гамильтонова проблема получена из лагранжевой, имеющей главную функцию, квадратичную относительно скоростей (глава VI, 1 3). [c.214] Уравнения (1) дают нам возможность выразить координаты р2, 12 вдоль любой кривой движения через угловую координату 1, после чего i может быть найдено простым интегрированием. [c.214] Последнее преобразование состоит в замене координаты р2 на новую р2 — Р2- Здесь P2 t) есть значение р2 вдоль данной периодической кривой, причем Ь должно быть заменено его значением вдоль периодического движения 71г/27г. Если мы в то же время преобразуем К, прибавив к нему слагаемое 72 йр /йдг, то вид уравнений (1) будет сохранен, и К останется периодической функцией от 71 периода 2тг. Данному периодическому движению будет при этом соответствовать р2 = 2 = 0. [c.214] Нужно заметить, что выбор поверхности S не влияет на получаемое преобразование Т с точностью до замены переменных. [c.215] Изучив подробнее преобразование Т и основываясь па его свойстве сохранять площади и па его нормальном виде (2), мы показали выше, что сколь угодно близко к данному периодическому движению устойчивого типа имеется бесконечное множество других периодических движений. [c.215] Если мы применим эти результаты к многообразию М вблизи периодического движения неустойчивого типа, то увидим, что имеются две инвариантные аналитические поверхности, проходящие через кривую периодического движения, одна из которых соответствует аналитическому семейству движений, асимптотических к периодическому движению в положительном направлении, а другая — подобному же семейству движений, асимптотических в отрицательном направлении. Все прочие близлежащие движения сначала приближаются, а затем удаляются от нашего периодического дви кения неустойчивого типа. [c.216] Очевидно, что не мо кет существовать никаких периодических движений, лежащих целиком вблизи данного периодического движения неустойчивого типа в противоположность тому, что мы видели для движений, принадлежащих к общему устойчивому типу I. ф 0). [c.216] Таким образом, мы видим, насколько различаются между собой классы периодических движений устойчивого и неустойчивого типа. [c.216] Переходим теперь к рассмотрению вопроса о том, в какой мере необходимы наложенные ограничения. [c.216] Отсюда следует далее, что Г оставляет инвариантным двойной интеграл ff dudv, где и, v суть координаты на поверхности S, а ф О является аналитической функцией от и и v. Это можно показать по существу тем же рассужденисм, что и в главе VI 1. Этого обстоятельства уже достаточно для получения нормальных форм (2) и (3) и для получения из них вышеприведенных выводов . [c.216] Следовательно, гамильтонову проблему нам не нужно ограничивать вышеуказанным способом. [c.217] В самом деле, можно показать, что для самого обш его преобразования Т, имеюш его подобный инвариантный двойной интеграл // ф йи (IV, всегда существует формально инвариантная функция Щи, и), данная формальными степенными рядами, по степеням и, V. Мы можем определить неустойчивый случай как такой, когда уравнение Г2 = О дает всщсствсппыс формальные инвариантные кривые неустойчивого типа. В этом случае всегда имеются асимптотические иивариаптиыс аналитические семейства движений (или аналитические семейства периодических движений, содер кащие данное периодическое движение). Все другие соседние движения приближаются и затем отдаляются от данного периодического движения. Таким образом, не существует близких периодических движений, за исключением движений, принадлежащих к. тому же аналитическому семейству, что и данное периодическое движение, если таковые существуют( ). [c.217] Если уравнение Si = О не дает вещественных формальных инвариантных кривых этого рода, то периодическое движение мы можем назвать принадлежащим к устойчивому типу. В рассмотренном выше случае общего устойчивого типа функция Г2 совпадает с с точностью до членов высшего порядка. Если а несоизмерима с 2тг, тогда как в вместе с некоторыми, но не со всеми подобными константами обращается в нуль, то никаких существенных изменений не требуется, за исключением того, что в формуле (2) член нг д заменяется на Если однако, все эти константы равны нулю, то нормальный вид (2) сохраняется с в = О, и к таким нерегулярным периодическим движениям уже невозможно применить наше прежнее рассуждение, с помощью которого мы показали существование бесконечного множества периодических движений вблизи данного. [c.217] С другой стороны, никакого существенного затруднения не возникает для движения устойчивого типа в случае, когда (т равно О или тг или, общее, когда а соизмеримо с 2тг в этих случаях данное периодическое движение является кратным или само, или если его повторить к раз, где к — надлежащее целое число. В последнем случае необходимо взять вместо Т преобразование Г, для которого число а будет равно нулю. Здесь инвариантная функция О начинается с членов степени высшей, чем вторая, и дальнейшее рассмотрение показывает, что Т аналогично вращению на угол, равный нулю в начале координат и возрастающий (или убывающий) с увеличением расстояния от начала. Представляется, следовательно, весьма вероятным, что в этом случае также должно быть бесконечное множество соседних периодических движений, хотя доказательство этого еще пс проведено во всех своих аналитических деталях. [c.217] Следовательно, в весьма общих случаях устойчивого периодического движения, а, может быть, во всех, за исключением совершенно особого случая, когда Т формально эквивалентно чистому вращению на угол, несоизмеримый с 2тг( ), это свойство будет сохраняться. Упомянутый исключительный случай будет тот, когда функция М в формальном решении сводится к своему первому члену А. [c.218] Следовательно, для самого общего случая неустойчивого типа (ш=2) характерным является существование асимптотических аналитических семейств движений или, по крайней мере, аналитических семейств периодических движений, содержащих данное движение). Прочие близлежащие движения приближаются и затем удаляются от данного периодического движения. [c.218] В самом общем устойчивом случае, за исключением в высшей степени вырождающегося случая, когда а несоизмеримо с 2тт и формальные ряды не включают никаких переменных периодов, будут иметься соседние периодические движения ). [c.218] Необходимо подчеркнуть, что второе из этих утверждений сформулировано здесь без подробного доказательства, которого я еще не имел возможности провести. [c.218] Вернуться к основной статье