ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Рекуррентные и полуасимптотические центральные движеТранзитивность и интранзитивность из "Динамические системы " Совокупность состоит из одной или нескольких связных частей, каждая из которых содержит по меньшей мере одно минимальное множество рекуррентных движений. [c.206] Всякое центральное движение, а- или ( -предельные точки которого не заполняют целиком какой-нибудь связной части множества Мг, мы будем называть специальным центральным движением . Согласно этому определению рекуррентное движение будет специальным, если только соответствующее минимальное множество не является само той связной частью множества М , к которой наше рекуррентное движение принадлежит. В частности для классической динамики специальными являются такие движения, которые не проходят сколь угодно близко от всех возможных состояний движения либо при возрастании, либо же при убывании времени. [c.206] Специальные центральные движении всюду плотны на любой связной части совокупности центральных движений, за исключением того случая, когда эта связная часть состоит из единственного минимального лтожества рекуррентных движений. [c.206] В случае классической динамики Мг = М) специальные центральные движения оказываются, таким образом, всюду плотными на М, за исключением того случая, когда само М является минимальным множеством рекуррентных движений. [c.206] Предположим, что паша теорема неверна и что имеется замкнутая область Е, пи одна точка которой пс припадлсжит специальному движению. Но в М существует по крайней мере одна совокупность S рекуррентных движений эти рекуррентные дви кения будут в рассматриваемом случае специальными движениями и, следовательно, будут все лежать целиком в дополнительной области F = М — Е. [c.207] Рассмотрим все точки, лежащие на расстояния, меньшем е, от S, где е выбрано таким образом, что г-окрестность совокупности S лежит целиком в области F. Если мы теперь будем безгранично увеличивать t, то эта г-окрестность будет двигаться, причем может быть одно из двух либо при достаточно малом е ни одна точка е-окрестности не выйдет из F, либо по крайней мере одна точка е-окрестности, в конце концов, выйдет из F. каково бы ни было е. [c.207] Легко показать, что второе предположение невозможно. В самом деле, устремим е к пулю и будем рассматривать последовательность дуг PQ кривых дви кения в F, таких, что Р лежит в е-окрестности, совокупности Е, а Q лежит на границе F и соответствует более позднему моменту t. Очевидно, что полукривая движения в направлении убывающего времени, начинающаяся в какой-нибудь предельной точке Q последовательности точек Q для lime = О, лежит целиком в F, кроме точки Q, и определяет специальное движение, что невозможно, так как она содержит точку Q, принадлежащую Е. Таким образом, мы можем ограничиться рассмотрением первого предположения. [c.207] мы пришли к противоречию, что доказывает нашу теорему. [c.208] Обобщая немного это рассуждение, мы можем получить следующий более точный результат. [c.208] Если какая-нибудь связная область F лтожества Мг содержит в себе кривую движения, то существует по крайней мере одно специальное движение, проходящее через точку, лежащую на границе этой области, и содержащееся в ней в направлении возрастания (убывания) t. [c.208] Будем рассматривать е-окрестность кривой движения, лежащей в области F. При безграничном уменьшении (эта окрестность движется, и предыдущие рассуждения покажут нам, что вышеприведенное утверждение должно быть справедливым, за исключением того случая, когда для достаточно малого е ни одна точка е-окрестности нашей кривой не выходит при этом движении за пределы F. [c.208] Рассматривая эту е-окрестность вместе со всей частью области F, которую она покрывает при убывании t, мы получим расширенную область. Эта расширенная область должна оставаться в F и при возрастании t и быть инвариантной. В самом деле, если бы какая-нибудь точка перешла при движении в направлении возрастания в точку Q вне этой области, то достаточно малая окрестность точки Q при своем движении в направлении убывающего времени не налегала бы на свое начальное положение, начиная с некоторого момента, что противоречит свойству региональной рекуррентности. [c.208] Если мы возьмем за ё точную верхнюю границу всех возможных значений е, то получим инвариантную область R, состоящую из полных кривых движения. Рассматривая точки в г -окрестности области В, и заставляя t убывать, мы найдем, как прежде, что некоторые из движений в этой окрестности должны, в конце концов, покинуть F в точке Q. Устремляя е к нулю, мы найдем предельную точку Q точек Q, через которую проходит движение, лежащее в F при возрастании t, что и требовалось доказать. [c.208] Или в любой окрестности рекуррентного движения имеются другие рекуррентные движения, или же имеются центральные движения, положительно (отрицательно) полуасимптотические к этому рекуррентному движению. [c.209] Доказательство очевидно. Выберем малую окрестность данного минимального множества рекуррентных движений. Из рассуждений предыдущего параграфа следует, что будет существовать движение, входящее в некоторой точке Р в эту окрестность и остающееся в ней после этого при безграничном возрастании Ь. Если при сколь угодно малом е в совокупности -предельных точек этого движения будут другие минимальные множества, кроме данного, то высказанное выше утверждение справедливо. В противном случае движение, проходящее через Р, будет положительно полуасимптотичным к данному рекуррентному движению, тоже в согласии с высказанным утверждением. [c.209] Но далее имеются две возможности либо для каждой точки Р, принадлежащей М, и для каждой частицы около этой точки соответствующая область В совпадает с М, либо же для какой-нибудь точки Р при подходящем выборе частицы, содержащей эту точку, В представляет собою только часть М. В первом случае мы будем говорить, что связная часть совокупности центральных движений М , будет транзитивного типа, во втором случае, что она будет интранзитивного типа. [c.209] Необходимым и достаточным условием интранзитивности связного лтожества центральных движений является существование в этом множестве инвариантной связной замкнутой области, составляющей только часть его. [c.210] Характерным признаком интранзитивного случая, в классической динамике будет, таким образом, существование инвариантных п-мерных континуумов, состоящих из целых кривых движения и составляющих лишь часть многообразия М. [c.210] Очевидно, что приведенное условие необходимо, так как подобной инвариантной областью является вышеописанная область К. С другой стороны, если существует инвариантная область К, то частица, лежащая целиком в Л в некоторый момент, будет при своем движении всегда оставаться в К (при возрастании и убывании t), так что дви кения являются интранзитивными. [c.210] Вернуться к основной статье