ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Последовательность из "Динамические системы " В противном случае точку Ро мы будем называть неблуждающей точкой и соответственное движение неблуждающим движением . Неблуждающими мы будем, разумеется, называть также точки равновесия и соответственные вырождающиеся движения ( ). [c.196] В этих определениях имеется кажущаяся асимметрия между направлениями возрастания и убывания времени 1. Но легко видеть, что фактически нет никакой асимметрии. Действительно, если частица а налегает на свое первоначальное положение сто через промежуток времени г, то она ведет себя так же через промежуток времени — г потому что, если частицы ад и ат, налегают друг на друга, то а-т и ад, очевидно, то ке налегают друг на друга. [c.196] Таким образом, блуждающая точка Рд характеризуется тем, что соответственная частица а описывает п-мерную трубку, нигде не пересекающую самое себя, когда Ь изменяется от —сю до +ос( ). Но этой причине название блуждающая представляется законным, так как точка никогда не возвращается в бесконечно малую окрестность какой-нибудь раз пройденной точки( ). [c.196] Совокупность Ш всех блуждающих точек многообразия представляет собой открытую совокупность, состоящую из кривых движения. Совокупность М неб.яуждающих точек М состоит из дополните.,гьной замкнутой совокупности кривых движения( ). [c.196] Из того, что было сказано выше, сразу следуют все части этого утверждения, кроме разве того, что Ш открыто и, следовательно, М1 замкнуто. Но если Ро есть блуждающая точка, то таковыми, очевидно, будут все точки частицы а, содержащей Ро( )- Отсюда тотчас же следует, что открытая совокупность и, значит, Мг замкнутая совокупность. [c.196] Если совокупность М содержит точки, не являющиеся предельными точками совокупности то эти точки образуют подмножество М[ множества М1, состоящее из кривых движения и обладающее свойством региональной рекуррентности. [c.196] НОМ соседстве ни с какой кривой движения, принадлежащей РГ, то то же самое будет справедливо относительно любой точки кривой движения, проходящей через Мы видим также, что достаточно малая частица, содержащая Q, будет вся содержаться в М[, так что М[ является открытой совокупностью неблуждающих точек. Отсюда следует свойство региональной рекуррентности. [c.197] С возрастанием или убыванием времени любая блуждающая точка приближается асимптотически к совокупности М1. [c.197] Это основное свойство блуждающих движений доказывается очень просто. Рассмотрим любую открытую окрестность множества М и дополнительную замкнутую совокупность С, состоящую исключительно из блуждающих точек. Около каждой точки, принадлежащей С, может быть построена маленькая частица сг, которая при своем движении никогда не будет налегать на свое первоначальное положение. Следовательно, можно найти конечное число таких частиц, покрывающих полностью С. Движущаяся точка может войти в одну из таких частиц, которые мы считаем неподвижными, только однажды и оставаться там короткий промежуток времени. Отсюда очевидно, что она по истечении некоторого конечного промежутка времени будет оставаться в данной окрестности совокупности Мх. Следовательно, всякая движущаяся точка будет приближаться асимптотически к М1, что и требовалось доказать. [c.197] Более внимательное изучение обнаруживает некоторые дальнейшие особенности способа приближения блуждающих движений к неблуждающим движениям. Так как в предыдущем рассуждении движущаяся точка входила в какую-нибудь из неподвижных частиц, покрывающих С, только однажды и оставалась там в течение короткого промежутка времени, то мы сможем высказать следующее положение. [c.197] Всякое блуждающее движение остается вне какой-нибудь выбранной окрестности совокупности в течение конечного времени Т и покидает эту окрестность конечное число N раз, где N иТ равномерно ограничены, коль скоро окрестность множества Мх выбрана . [c.197] Очевидно, что аналогия с М полная. Неблуждающие точки относительно Мг образуют замкнутую совокупность Мг, состоящую из кривых движения. К этой совокупности стремится асимптотически любая точка Р, принадлежащая совокупности г блуждающих относительно Мг точек, при возрастании или убывании времени мы можем так же сформулировать утверждение, аналогичное приведенному в конце предыдущего параграфа. [c.198] Но мы получили, таким образом, вполне упорядоченное множество замкнутых совокупностей, из которых каждая содержится в предыдущих и содержит последующие. Как известно, такая совокупность должна быть конечна или исчислима. Следовательно, процесс непременно оборвется на каком-нибудь (/ — конечное или трансфинитное число). [c.199] Последняя совокупность М,., на которой обрывается процесс, есть совокупность центральных движений . Она, очевидно, обладает свойством региональной рекуррентности, так как совокупность Шг блуждающих точек совокупности М пуста. Из этого свойства методом Пуанкаре (см. книгу, цитированную выше) можно вывести, что в любой окрестности какой-нибудь точки, принадлежащей М , имеется движение, которое возвращается в эту окрестность бесконечно много раз в будущем и в прошедшем( ). [c.199] Очевидно, что периодические движения в динамической проблеме должны принадлежать к совокупности центральных движений. Движения, которые мы определим ниже как рекуррентные ( 7), тоже принадлежат к числу центральных. [c.200] Вернуться к основной статье