ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение теоремы Пуанкаре к проблеме геодезических линий из "Динамические системы " Таким образом, J sin а da является положительным инвариантным плоскостным интегралом, необходимым для применения геометрической теоремы Пуанкаре. Следовательно, существуют две точки кольца Д, инвариантные относительно преобразования ТТ, откуда мы можем немедленно сделать следующий вывод. [c.191] Пусть мы имеем выпуклую аналитическую поверхность, на которой какая-нибудь замкнутая геодезическая линия минимаксного типа (существование таких линий нами было доказано ранее) не имеет двойных точек предположим еще, что ни для одной из точек этой геодезической линии ее вторая сопряженная точка не совпадает с ней после одного полного оборота. Тогда будет существовать вторая замкнутая геодезическая линия, пересекающая первую ровно два раза. [c.191] Каждой такой замкнутой геодезической линии, разумеется, соответствуют две инвариантные точки кольца R, отвечающие двум направлениям обхода. [c.191] При тех же самых условиях должны существовать, по крайней мере, две геодезические линии, встречающие данную геодезическую линию типа минимакса только в двух точках. [c.191] Следовательно, если Р есть инвариантная точка относительно преобразования ТТ, то таковой же является У Р). [c.192] Но это означало бы, что ближайшее пересечение, взятое нами геодезической линии g, изображаемой точкой Р на кольце, с минимаксной геодезической линией пересекало бы эту последнюю в той же точке и в противополо кном направлении, что, очевидно, невозможно. [c.192] Геометрически очевидно, что соответствующие точки Р и У Р) отвечают двум возможным направлениям обхода соответствующей им геодезической линии. [c.192] Таким образом, выделенное выше курсивом утверждение доказано. [c.193] Применяя то же рассуждение к высшим степеням преобразования ГТ, мы можем доказать существование других типов геодезических линий. Кроме того, тут применимы методы 1 этой главы, с помощью которых мы можем доказать, что в непосредственной близости к любой замкнутой геодезической линии устойчивого типа будет, вообще говоря, находиться бесчисленное множество замкнутых геодезических линий. [c.193] В заключение я сделаю еще два замечания относительно проблемы геодезических линий. Во-первых, заключение о том, что существуют по крайней мере две геодезические линии, пересекающие данную геодезическую линию типа минимакса ровно в двух точках каждая, справедливо, несомненно, для поверхностей значительно более общего вида, чем рассмотренные. [c.193] Во-вторых, если выпуклая поверхность симметрична в пространстве относительно плоскости, содержащей геодезическую линию g, то будут существовать различные замкнутые геодезические линии, пересекающие g дважды под прямыми углами. Эти симметричные геодезические линии могут быть исследованы методами, аналогичными тем, которые я применил при изучении известных симметричных периодических орбит в ограниченной проблеме трех тел (цитировано выше). Действительно, если g минимаксного типа, то преобразования Т и Т оказываются тождественными( °), и ТТ оказывался квадратом про-изведеиия двух инволюторных преобразований так же, как основное преобразование в ограниченной проблеме трех тел. [c.193] Вернуться к основной статье