ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приложения теоремы Пуанкаре к проблеме бильярдного шаГеодезическая проблема. Построение преобразования ТТ из "Динамические системы " Предположим прежде всего, что длина линии С равна 2тг, и будем измерять расстояние вдоль С от некоторой постоянной точки до переменной точки Р на этой кривой посредством угловой координаты ср. [c.177] В точке Р, которую будем считать начальной точкой движения бильярдного шара, обозначим буквой в угол между положительным направлением касательной в этой точке и направлением движения шара. Переменная в может, очевидно, изменяться только в пределах между О и тг. Эти координаты , ср представляют однозначным образом все возможные состояния шара в начале движения или после удара. Если мы будем рассматривать ср как угловую координату точки па плоскости, а 1 , увеличенное на постоянную, например, на тг, как радиальную координату этой точки, то совокупность всех возможных значений, д, ср представляется на этой плоскости кольцом, ограниченным окружностями радиусов тг и 2тг, а именно окружностями -в = О и = тг. [c.177] Рассмотрим теперь определенное состояние движения шара в точке Р с данными координатами (i , ip). Бильярдный шар, выйдя из точки Р на С, встречается опять с этой кривой в другой точке Pi и продолжает двигаться от нее с новыми координатами, скажем (i i, i), и так далее до бесконечности. Если С — аналитическая кривая, как мы предположим, то зависимость между (-1 , (р) и (i i, pi), очевидно, однозначная и аналитическая внутри кольца. Когда в близко к О или к тг, то шар выходит из Р под небольшим углом к краю стола и ударяется в него опять в близкой точке с в, снова близким соответственно к нулю или к тг. Следовательно, точки, лежащие па ограничивающих окружностях, соответствуют себе самим с pi = (р, i i = i . [c.178] Можно сделать еще одно дальнейшее замечание относительно этого соответствия вдоль обеих границ кольца. Если мы будем рассматривать преобразование кольца, переводящее каждую точку (i , ср) в соответствующую ей (г 1, pi), то при этом преобразовании Г как внутренний, так и внешний круг сделает несколько полных оборотов, ибо, как мы только что видели, точки этих границ являются инвариантными. Мы можем принять, что внутренняя окружность остается неподвижной, но тогда то же не будет верно относительно внешней окружности, которая, как мы сейчас покажем, окажется совершившей один полный оборот в положительном направлении. В самом деле, будем изменять для данной точки Р и соответствующего ей постоянного ср угол от пуля до тг. Очевидно, что в этом случае будет возрастать от О до тг, а pi возрастать па 2тг, так как точка Pi обойдет, исходя из Р, полный цикл по кривой С в положительном направлеиии. Иначе говоря, преобразование Г превращает радиальный отрезок, пересекающий кольцо, в кривую, исходящую из той же точки иа виутреиней окружности, по делающую один полный оборот в кольце, прежде чем закончиться на внешней окружности. Следовательно, при преобразовании Т внешняя граница делает один полный оборот. [c.178] Таким путем отыскание гармонических многоугольников и связанных с ними периодических движений в задаче бильярдного шара приводится к определению систем различных точек Рх,. .., Р , перемещаемых циклически при преобразовании Т, так что Т (Р ) = Р . Вообще же говоря, решительно всякое интересное свойство движения бильярдного шара отражается в соответствующем свойстве преобразования Т. Таким образом, динамическая проблема может быть сведена к задаче некоторого специального преобразования кругового кольца в себя. [c.179] Подобным же образом, пусть п обозначает тот же угол для образа Рх точки Р. Этот угол выражается такой ке формулой, в которой только (р заменено на (р1. Наконец, пусть а обозначает угол между положительным направлением оси X и направлением движения шара при выходе его из Р (рис. 3). [c.181] Все п инвариантных точек Т (Р) не только различны, но имеют одинаковый индекс. Следовательно, будет существовать точка инвариантная по отношению к Г , но с индексом, имеющим обратный знак. Эта точка, а также ее образы при последовательных степенях преобразования Т будут обязательно все отличны от точки Р и ее образов и дадут нам, таким образом, второй, отличный от первого ряд из п точек. [c.183] Таким образом, мы получаем для любого п 2 и любого числа п/2, взаимно простого с п, два геометрически различных гармонических п-угольника, обходящих к раз кривую С. Этим двум многоугольникам будут соответствовать, разумеется, четыре периодических движения. Мы не станем входить здесь в рассмотрение устойчивости или неустойчивости движения в зависимости от знака индекса. [c.184] Заслуживает внимания то обстоятельство, что здесь, очевидно, может быть применен метод, изложенный в 2 и 3 этой главы, который покажет нам, что существует бесконечное множество периодических движений, лежащих в окрестности любого устойчивого периодического движения общего типа, если постоянная I не равна нулю. [c.184] Мы покажем, в частности, как этот метод можно применить к предельному типу периодического движения, когда бильярдный шар движется вдоль границы бильярдного стола по кривой С. [c.184] Здесь обозначает значение в точке, имеющей кривизну, равную единице. Этот результат показывает, что в первом приближении кривая ( = вблизи внутренней границы ( = О кольца почти инвариантна при преобразовании Т и, вероятно, может быть сделана с еще большим приближением инвариантной присоединением членов высших степеней. Очевидно, предельные периодические движения, образуемые кривой С, нужно на этом основании рассматривать как устойчивые движения. [c.184] Таким образом, представляется весьма вероятным, что лемма 2 применима и здесь, и что существует бесконечное множество периодических движений,равномерно близких к кривой С. [c.185] Рассмотрим теперь ту часть поверхности 5, разделенной линией g на две части, в которой лежит к, и в частности часть 5, лежащую между g и к. Одной из границ этой области з будет линия g, имеющая всюду геодезическую кривизну, равную нулю, а другая граница 7 состоит из части или всего к и его предельных точек. [c.186] Таким образом, мы пришли к противоречию, в силу чего наше утверждение о существовании числа L, обладающего тем свойством, что все геодезические дуги длины больше L, пересекают g, должно быть справедливо. [c.187] Мы введем теперь систему параметров, определяющих геодезические линии следующим образом пусть какая-нибудь произвольно направленная геодезическая линия / пересекает данную направленную геодезическую линию g точке Р. Положение точки Р может быть определено ее геодезическим расстоянием -д от некоторой фиксированной точки на g, если полную длину g мы примем за 2тг, что всегда можно сделать, выбрав соответствующую единицу длины, то переменная y будет периодической с периодом 2тг. Далее, буквой ip мы обозначим угол между положительными направлениями линий g и / в точке Р, так что О уз р ). [c.187] Вдоль границ кольца R мы можем считать преобразования Т и Т непрерывными. В этом обстоятельстве можно убедиться следующим образом. Если геодезическая линия /, близкая к g, пересекает g под малым углом ip в данной точке д, то, разумеется, / пересечет g опять под малым углом ip в точке oj, близкой к сопряженной с первой точкой пересечения, как было указано выше. Из этого следует доказываемая непрерывность. Кроме того, мы знаем, что три последовательные сопряжепные точки соответствуют дуге, большей одного полного цикла кривой g. [c.187] Если (р = д или уз = тг, то будем иметь соответствеипо = О или = тг, так же как, если /р = О или тг, то будем иметь = О или тг соотвстствсппо. Кроме того, ссли г или г возрастает вдоль границы кольца, то соответственно или будет возрастать. Действительно, мы уже видели, что если -в — координата точки Р, то г есть координата сопряженной точки Р. Таким образом, Т и Т суть прямые преобразования( ) кольца, переводящие внутреннюю и внешнюю границы В, в самих себя. [c.188] Вернуться к основной статье