ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрическая теорема Пуанкаре из "Динамические системы " Для удобства мы прежде всего сформулируем эту теорему. Геометрическая теорема Пуанкаре. Пусть нам дано кольцо О а г в плоскости, определяемой полярными координатами г, в и некоторое одно-однозначное непрерывное, сохраняющее площадь преобразование Т этого кольца в себя и при этом такое, что точки окружности г = а передвигаются при этом преобразовании вперед т.е. в направлении возрастающих 1 ), а точки окружности г = Ь передвигаются назад (в направлении убывающих г ). Тогда в кольце будут существовать по меньшей мере две точки, инвариантные при преобразовании Т. [c.172] Мы наметим вкратце доказательство этой теоремы. [c.172] Будем считать х = и у = прямоугольными координатами точки на плоскости (,т, у). Наше кольцо будет на этой плоскости представлено полоской у Преобразование Т этой полоски в себя передвигает точки границы у = вправо, а точки границы у = — влево. Кроме того, преобразование Т сохраняет площади в плоскости (ж, у), так как 2г (1г (О) = йх йу, и перемещает одинаковым образом любые две точки, имеющие одинаковую ординату и абсциссы, различающиеся на число, кратное 2тг. [c.172] Присоединим к Т новое преобразование Т , совершающее перенос всех точек плоскости (х, у) па расстояние е О в направлении возрастающих у. Композиция преобразований Т и Т , (в порядке сначала Т, потом Те,) дает сохраняющее площадь преобразование которое переводит данную полоску а у Ь в полоску а + е у Ь + е. [c.172] Предположим, что преобразование Г не имеет инвариантных точек, тогда существует такое положительное количество й, что все точки перемещаются на расстояние, не меньшее (1 при преобразовании Г( ). Выберем за е число, меньшее ё. [c.172] Продолжая этот процесс, мы получим ряд полос, образующих последовательные слои. Каждый из этих слоев совмещается с самим собой при передвижении на 2тг направо. Это следует из того, что оба преобразования Г и Те однозначны в кольце. [c.173] Предположим теперь, что Ь движется любым способом от какой-нибудь точки прямой у = до какой-нибудь точки прямой у = Ь , оставаясь, конечно, все время на нашей полоске у Ь . Преобразование ТГе не имеет инвариантных точек, и, следовательно, точка Е, никогда не будет совпадать со своим образом Е. В начальном положении угол, образуемый ЕЕ, лежит в первой четверти в конечном же положении этот угол лежит во второй четверти. Но полное изменение угла при движении Е от у = ц,о у = Ь оказалось в одном частном случае равным наименьшему возможному положительному углу( ). Следовательно, так как любой путь точки Е от у = а цо у = может быть непрерывно преобразован в любой другой, это изменение будет всегда равно наименьшему положительному углу. [c.174] Пусть теперь е стремится к нулю. При уменьшении е вектор ЕЕ, где Е — любая точка нашей полоски, все время имеет определенное направление, так как преобразование ТТ не имеет инвариантных точек. Посредством предельного перехода мы получаем, что для преобразования Г угловое изменение направления вектора ЕЕ будет равно наименьшему возможному положительному углу( ). Этот наименьший положительный угол, разумеется, равен тг, потому что начальное направление ЕЕ при Е, лежащем па прямой у = а , будет совпадать с положительным направлепием оси абсцисс, а конечное направление ЕЕ при у = Ь будет совпадать с отрицательным направлепием оси абсцисс. [c.174] Для того, чтобы доказать, что таких точек должно быть не менее чем две, мы можем применить способ, примененный Пуанкаре. [c.175] Вернуться к основной статье