ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Периодические движения вблизи обобщенного равновесия Доказательство леммы из "Динамические системы " Напомним, что движение вблизи периодического движения какой-нибудь гамильтоновой или пфаффовой системы с т степенями свободы, не содержащей времени i в явном виде, может быть приведено к движению подобной же системы, имеющей только та —1 степеней свободы, но содержащей независимую переменную периодически с периодом 2тг. [c.157] Само периодическое движение будет в этой новой системе обобщенным равновесием. Это приведение выполняется при помощи аналитического приема, указанного выше (глава IV, 1). [c.157] В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о существовании периодических движений с периодом 2кж в окрестности точки обобщенного равновесия для систем с одной степенью свободы (та = 1). Мы докажем существование бесконечного числа таких близких периодических движений в общем случае устойчивого равновесия при помощи соображений, которые хотя и не опираются явно на геометрическую теорему Пуанкаре, но повторяют в точности рассуждения, доказывающие эту теорему в некоторых частных случаях. Ниже (в 3) эти результаты будут приложены к первоначальной динамической проблеме с двумя степенями свободы. [c.157] Обозначим единственную пару переменных через р, д, так что гамильтонова главная функция Н будет зависеть от р, д, I, являясь периодической функцией от Ь периода 2тг, и вместе со своими первыми производными она будет обращаться в нуль в начале координат, т.е. при р = д = О и всех значениях 1. [c.157] Нормальный вид уравнений дает нам средство для изучения преобразования Т. Свойство преобразования Т, которое нам необходимо для наших целой п пастояпщй момент, заключается в следуюш ой лемме, доказательство которой мы откладываем до следующего параграфа. [c.160] Если I ф О, то при соответствующем, выборе переменных р, д мы можем для. любого достаточно малого положительного числа е найти такое целое положительное число п, что всякое преобразование Т [и п) преобразует круг г е( ), с центром в инвариантной точке г = О, в область, лежащую в круге радиуса 2е. причем угловое вращение, производимое преобразованием Т , которое равно 2ттпХ/ / Л при г = О, возрастает вместе с г вдоль любого радиуса нашего круга г е, достигая при г = е величины не менее чем на 2тг большей, чем при г = 0. [c.160] Рассмотрим теперь образ С , этой кривой при преобразовании Т кривая Сп пересечет кривую С в некоторой точке так как если бы Сп лежала полностью внутри или вне С, то Т не могло бы быть преобразованием, сохраняющим площади в первоначальных координатах. Точка Ц является образом при преобразовании Т некоторой точки Р, лежащей тоже на С. Кроме того Р и имеют одинаковое д по определению кривой С. Следовательно, Р и (5 должны совпадать, и точка Р инвариантна по отношению к преобразованию Т . Так как е сколько угодно мало, то мы получаем требуемый результат. [c.160] Следовательно, мы имеем в некоторой фиксированной окрестности начала и для фиксированного К-. [c.161] Эти уравнения (8) позволяют нам определить г последовательно для п = 1,2. с начальными условиями = 1, г о = 0. [c.162] Эти уравнения (8) позволяют нам определить и , Уп последовательно для п. = 1,2, ... с начальными условиями = 1, г о = 0. [c.163] Очевидно, что 1 =. ч-Нез положительно и, следовательно, согласно формуле (9) -У2, г з,. .., тоже положительны для п = 1, 2,. .., пока п не станет слишком велико, если только ро достаточно мало, причем величина Уп приблизительно равна пе. Мы хотим теперь определить более точно промежутки значений ро и п, для которых г остается положительным. В этих пределах переменный угол возрастает вместе с ро, если угол -до фиксирован. [c.164] ДОЛЖНО быть порядка . [c.165] Характер выведенных выше неравенств делает очевидным, что мы можем выбрать значение гд столь малым и затем п столь большим, чтобы выполнялись все условия, сформулированные в лемме. [c.165] Вернуться к основной статье