ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Полная устойчивость из "Динамические системы " Мы перейдем теперь к определению этого понятия полной устойчивости . [c.115] Результаты, полученные в 2, показывают, что в случае гамильтоновых или пфаффовых уравнений из определенной ранее обыкновенной устойчивости системы всегда следует полная устойчивость. [c.116] Это непосредственно следует из того, что разности — 1 , входящие в тригонометрические суммы 2, приближенно выражаются через некоторое ограниченное число линейных комбинаций с целыми коэффициентами та + 1 количеств . т, и ни одна из этих комбинаций не обращается в нуль. [c.116] В случае полной устойчивости решения нормализированных уравнений вариации (глава III, 5) будут пределами тригонометрических сумм указанного типа и, следовательно, будут сами тригонометрическими на основании леммы о тригонометрических суммах, приведенной ниже (в 5 и 6 этой главы). Следовательно, множители будут чисто мнимыми количествами. [c.116] Но стоящее в левой части выражение является тригонометрической суммой указанного вида порядка не выше М эта сумма стремится к своему пределу равномерно. Следовательно, на основании леммы о тригонометрических суммах, формулировка и доказательство которой содержатся в 5 и 6 этой главы, предел этой суммы будет суммой того же вида. Но представить 2 Ь — о) как конечную тригонометрическую сумму, очевидно, невозможно. Следовательно, в этом случае мы не имеем полной устойчивости. [c.118] Как мы видели, условие, чтобы все множители были чисто мнимыми количествами, необходимо, хотя и недостаточно, для полной устойчивости. Обозначая т пар чисто мнимых множителей через А1,. .., Лт, мы будем в дальнейшем предполагать, что между А1,. .., и 27Г / /г нет никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами. Разумеется, при этом предположении мы исключаем из рассмотрения некоторые особые случаи, которые требуют дальнейшего изучения. [c.118] Для полной устойчивости оказывается необходимым выполнение бесконечного множества условий помимо условия, чтобы все множители были чисто мнимыми. [c.118] Вернуться к основной статье