ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Внутренняя характеризация лагранжевых систем из "Динамические системы " В следующем параграфе мы рассмотрим внешнюю характеризацию лагранжевых систем. [c.34] Если X, у, г будут обозначать прямоугольные координаты частицы, то внешние силы X, , г, действующие в направлениях, параллельных осям координат, пропорциональны составляющим ускорения в этих направлениях. [c.34] Функция V есть потенциальная энергия частицы, обязанная своим возникновением полю сил, в котором частица движется. [c.35] Почти к этому типу принадлежит наэлектризованная частица с ничтожной массой в статическом электрическом поле. [c.35] Отметим, что эта система представляет собой случай лагранжевой системы, являющейся одновременно системой, лишенной энергии. [c.35] Если частица дви кетсл под действием сил, представляющих собою сумму сил инерциального, некинетического и гироскопического типов, то такую частицу можно назвать обобщенной частицей. Примером может служить обыкновенная материальная частица, движущаяся в поле тяготения. Такая система, очевидно, будет лагранжевой, и главная функция ее будет просто суммой главных функций, связанных со слагающими силами. [c.35] Рассмотрим далее совокупность таких частиц, которые никаким образом не взаимодействуют между собою. Если мы сложим лаграпжс-вы функции различных частиц, то мы получим функцию Ь, из которой можно вывести уравнения движения системы частиц. [c.35] Конечно, при этом необходимо ра.1личать координаты различных частиц, употреблял для них разные переменные ж. , у. , Zi, где г = = 1,. ... т. [c.35] Очевидно, что в этом случае мы имеем главную функцию, квадратичную по отношению к скоростям. Естественным обобщением этих систем будут такие системы, главная функция которых — любой квадратичный относительно скоростей полином. Однородное, квадратичное относительно скоростей, слагаемое Т будет кинетическая энергия системы, слагаемое II, не зависящее от скоростей, — ее потенциальная эпергия, а слагаемое однородное, линейное относительно скоростей, можно назвать гироскопической энергией . [c.35] Кроме того, как мы видели, мы можем подчинить наши частицы различного рода геометрическим связям и таким образом уменьшить число степеней свободы, не нарушая лагранжева характера системы. [c.36] Рассмотрение таких систем обобщенных частиц бывает достаточно для большинства приложений. [c.36] Естественным обобщением предыдущих рассуждений, на котором мы не будем здесь останавливаться, можно показать, что одна материальная частица, лежащая на т-мерном многообразии, определенном квадратичной дифференциальной формой, находящаяся в поле сил, вызванном потспциальпой функцией па поверхности, и подчипенпая кроме того гироскопическим силам, зависящим от какой-нибудь линейной функции скоростей на поверхности, будет типа Лагранжа. Ее функция Ь будет квадратичной функцией от скоростей. И обратно, всякая лагранжева система с т степенями свободы и с функцией Ь, квадратичной относительно скоростей, может быть представлена движением материальной частицы на таком т-мерном многообразии. [c.36] Следовательно, движение любой динамической системы с т, степенями свободы можно представить изоморфным движением одной обобщенной частицы на надлежащей т-мерной поверхности. [c.36] Вернуться к основной статье