ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятие грубости и степени негрубости для динамических систем из "Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости " Траекториями динамических систем на поверхностях кроме траекторий тех же типов, что и на плоскости, могут быть еще незамкнутые, устойчивые по Пуассону, а также незамкнутые и неустойчивые по Пуассону траектории, имеющие в качестве предельных а- и со-устойчивые по Пуассону (незамкнутые, самопредельные). В связи с наличием у динамических систем на поверхностях новых типов траекторий вопрос о схеме динамической системы на поверхности решается только для простейших случаев. Понятие грубости динамической системы на поверхности имеет то же значение, что и в плоской области, а необходимые и достаточные условия грубости системы с небольшими модификациями те же, что и в плоской области. [c.467] Вообще же в динамических системах на поверхностях возникает целый ряд новых по сравнению с динамическими системами на плоскости вопросов. Мы отсылаем читателя к специальной литературе (см. [16, 17, 3 ]). [c.467] Однако установление всех возможных типов траекторий, аналогичное теории Пуанкаре — Бендиксона (гл. 2), для случая и 2 значительно сложнее. У динамической системы на плоскости, если траектория L имеет незамкнутую предельную траекторию Lo, то Lo среди своих предельных точек может иметь только состояния равновесия. В динамических системах числа измерений ге 2 возможна бесконечная цепочка траекторий, обладающих тем свойством, что все они отличны от состояния равновесия и каждая траектория Lj+i является предельной для Li. Пример такой динамической системы с неаналитической правой частью см. [96]. Вопрос о возможности такой же ситуации в аналитической системе остается открытым. [c.468] Качественный характер седла и седло-фокуса тождествен (в смысле, полностью аналогичном такому понятию, введенному для двумерных систем). [c.468] Несмотря на простую и естественную формулировку этих достаточных условий, возможная качественная структура систем Морса — Смейла может быть очень сложной. У таких систем может быть счетное множество ячеек . Существуют также примеры грубых динамических систем со счетным множеством седловых предельных циклов с неограниченно увеличивающимся периодом. Впервые такой пример был построен американским математиком Смейлом (см. список дополнительной литературы [42 ]). Примеры грубых систем со счетным множеством устойчивых или неустойчивых циклов с неограниченно увеличивающимся периодом отсутствуют. Доказательство того, что в грубых многомерных системах не может существовать счетного множества предельных циклов с ограниченными периодами, не представляет затруднений. [c.470] В системе (1) есть седло, и это седло принадлежит аттрактору вместе со своими двумя изолированными сепаратрисами Г1 и Гг. Аттрактору же принадлежит и счетное всюду плотное множество седловых предельных циклов с неограниченно увеличивающимся периодом и всюду плотное множество устойчивых по Пуассону траекторий. А главное, этот аттрактор негрубый при сколь угодно малых изменениях параметра сепаратрисы Г1 и Гг входящего в него седла меняют свое расположение — они то включаются в сепаратрисные поверхности одного из седловых циклов, входящих в аттрактор, то отделяются от нее. Так как седловые циклы всюду плотны в аттракторе, то при непрерывном изменении параметров аттрактор сохраняется, но его структура в силу описанного поведения сепаратрис Г1 и Гг — непрерывно меняется. Таким образом, аттрактор Лоренца негрубый. Сложные режимы были обнаружены Лоренцем счетом на ЭВМ. Вно следствии структура аттрактора Лоренца была рассмотрена в ряде работ, например в [25 ]. Полное рассмотрение см. [9, 10 ]. [c.470] Аттрактор Лоренца и его негрубость сохраняются и вообще при всех достаточно малых изменениях правых частей уравнения (1). А отсюда, очевидно, следует, что не существует сколь угодно близкой к системе (1) грубой системы и, следовательно, грубые системы не всюду плотны в пространстве трехмерных систем. Так как для двумерных систем всюду плотность грубых систем в пространстве динамических систем была чрезвычайно важным свойством, то в этом кардинальном вопросе разница между двумерными ц многомерными динамическими системами очень существенна ). Тем не менее понятие грубости динамических систем трех и большего числа измерений — в простейшем случае систем Морса — Смейла или даже в еще более упрощенной ситуации, например, в случае систем Морса — Смейла с конечным числом ячеек, все же сохраняет свое значение. Большое значение (как математическое, так и для приложений) имеет также рассмотрение бифуркаций многомерных динамических систем через негрубые системы. Мы сделаем по этому поводу некоторые краткие замечания. [c.471] Возможность существования такого сложного негрубого притягивающего множества, как аттрактор Лоренца, вызвала огромный резонанс как в математике, так и в приложениях. Еще до появления уравнений Лоренца были известны хаотические , стохастические колебания в системах, описываемых точными уравнениями без всякого присутствия вероятностных добавлений. Впервые такие движения были обнаружены в точно математически описанной модели часов, данной Н. Н. Баутиным ([12, 35 ]). Как оказалось, так называемый пичковый режим в лазере описывается теми же уравнениями Лоренца ([58 ]). [c.471] В многомерных системах число типов простых и сложных состояний равновесия увеличивается с увеличением числа измерений. [c.471] Возможные бифуркации простейшего сложного фокуса с отличной от нуля первой ляпуновской величиной либо фокус становится грубым той же устойчивости, что и сложный фокус, либо из сложного фокуса рождается предельный цикл, а сложный фокус превращается в седло-фокус (см. [37 ]). [c.472] Аналогичны бифуркации для сложного седло-фокуса либо он делается грубым, либо из него рождается седловой предельный цикл, а седло-фокус становится грубым фокусом, устойчивым или неустойчивым (см. [37 ]). [c.472] Если одна из сепаратрис седло-седла возвращается в него же, то при исчезновении седло-седла появляется единственный седловой предельный цикл [137, 47 ]. [c.472] В заключение скажем еще несколько слов о фундаментальном понятии, лежащем в основе качественного рассмотрения двумерных систем,— о классификации с точки зрения топологической тождественности разбиения на траектории в случае многомерных систем этот подход также требует пересмотра и модификации. Однако на этих важных и тонких вопросах мы здесь не имеем возможности останавливаться и отсылаем читателя к специальной литературе (см. [63 ]). [c.475] Вернуться к основной статье