ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основная теорема из "Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости " Приведем еще одно предложение, являющееся следствием предложения I и определения предельной точки. [c.47] Следующая теорема является основной теоремой, на основании которой могут бьггь сделаны заключения относительно возможного характера траектории на плоскости. [c.47] Доказательство опирается на предложения I и III. [c.48] Теорема 3 отражает черты, характерные для траекторий динамической системы на плоскости (а также на сфере), и несправедлива для траекторий в других фазовых пространствах (например, на торе или в евклидовом пространстве трех измерений). [c.48] Приведем еще две теоремы, которые позволяют полностью установить возможный характер множества предельных точек полутраектории. [c.48] Теорема 4. Если полутраектория имеет замкнутую предельную траекторию Lq, то Ьо является единственной предельной траекторией для L+. [c.48] Теорема 5. Если ср ди предельных точек полутраектории нет состояний равновесия, то она либо замкнута, либо не замкнута, но имеет замкнутую предельную траекторию. [c.48] Замкнутая траектория Ы, являющаяся либо со-, либо а-предельной траекторией для всех отличных от нее траекторий, про ходящих через достаточно близкие к ней точки (как внутри Ьо, так и вне Ьо), называется предельным циклом. Очевидно, предельный цикл является изолированной замкнутой траекторией, т. е. через некоторую его окрестность, кроме него, не проходит больше ни одной замкнутой траектории. С другой стороны, всякая изолированная замкнутая траектория является предельным циклом, т. е. является предельной траекторией. [c.48] Предельный цикл называется устойчивым ), если все траектории, проходящие через точки достаточно малой его окрестности, стремятся к нему при t - + °°, и неустойчивым, если все такие траектории стремятся к нему при i — с (см. рис. 64 гл. 5). [c.48] Предельный цикл называется полу устойчивым, если все траектории, проходящие через достаточно близкие к нему точки, лежащие вне его, стремятся к нему при t - + х (i — ),а лежащие внутри — при i — оо (i - -Ь оо) (см. рис. 65 гл. 5). [c.48] Вернуться к основной статье