ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Предельная точка полутраектории и траектории. Предельная из "Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости " Траектории не иогут касаться гладкой замкнутой кривой во всех ее точках, так как в этом случае кривая также была бы интегральной кривой. Это невозможно, так как по предположению для рассматриваемой динамической системы выполняются условия теоремы существования и единственности. [c.43] При рассмотрении возможного поведения отдельной полутраектории вводится понятие предельной точки полутраектории . [c.44] Точка М называется предельной точкой положительной полутраектории (или соответственно отрицательной полутраектории Ь ), если при любом сколь угодно малом е 0 и любом сколь угодно большом Т О (любом Г 0) в круге радиуса е с центром в точке М лежит хотя бы одна точка полутраектории Ь Ь ), соответствующая значению t T (или соответственно 1 Т). [c.44] Точка М называется предельной точкой целой траектории Ь, если М есть предельная точка либо для положительной полутраектории /у , либо для отрицательной полутраектории Ь , выделенной из траектории Ь (в первом случае точку М часто называют а-предельной точкой, во втором — а-предельной точкой траектории Ь). [c.44] Предельная точка траектории Ь может как принадлежать самой траектории Ь, так и не принадлежать ей. [c.44] Согласно определению она является, следовательно, как м-, так и ос-предельноп точкой Ь (в рассматриваемом случае ф(( ) = , П при любом п). [c.45] Так как сказанное относительно положительных полутраекторий, очевидно, справедливо и для отрицательных полутраекторий (с заменой i на —1), то в дальнейшем будут рассматриваться только положительные полутраектории. Следующая теорема позволяет ввести понятие предельной траектории. [c.45] Теорема 1 (о предельной траектории). Если М %, т] ) есть предельная точка полутраектории Ь, то и все точки траектории о, проходящей через точку М, являются предельными для Ь. [c.45] Доказательство этой теоремы опирается па теорему о непрерывной зависимости от начальных условий и понятие предельной точки полутраектории. [c.45] Траектория Ьо называется предельной траекторией для полутраектории или просто предельной траекторией. Когда предельная точка траектории Ь является точкой самой этой траектории, то Ь называется самопредельной траекторией. В силу предыдущего состояние равновесия и замкнутая траектория являются самопредельными. В формулировке следующей теоремы используются теоретико-множественные понятия замкнутости и связности множества. [c.45] Множество точек плоскости пазывается замкнутым, если оно содержит все свои точки сгущения. Замкнутое, ограниченное (т. е. целиком лежащее в ограниченной части плоскости) множество называется связным, если оно не может быть представлено как сумма двух замкнутых множеств без общих точек. Заметим, что если мы имеем два замкнутых множества без общих точек, то наименьшее из расстояний между любыми двумя точками, из которых одна принадлежит одному множеству, а другая — другому, отлично от нуля. [c.46] Рассмотрим множество К всех предельных точек полутраектории целиком лежащей в ограниченной части плоскости множество ее предельных точек, очевидно, также лежит в ограниченной части плоскости. [c.46] Теорема 2. Множество всех предельных точек полутраектории замкнуто, связно и состоит из целых траекторий. [c.46] Справедливость первых двух утверждений теоремы доказывается непосредственно, справедливость последнего утверждения следует из теоремы о предельной траектории. [c.46] Если К есть со- (а-) предельное множество траектории Ь, то говорят также, что Ь стремится к К при i - + i - — ). [c.46] Понятие предельной точки и теоремы 1 и 2 имеют место не только в случае динамической системы на плоскости, но и в случае динамической системы на фазовой поверхности любого жанра, а также в случае динамических систем в фазовом пространстве п измерений при га 2 (т. е. для системы п автономных дифференциальных уравнений первого порядка при ге 2). [c.46] Вернуться к основной статье