ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры из "Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости " Состояний равновесия, очевидно, нет все траектории (совпадающие с интегральными кривыми) являются целыми траекториями. Пример 2. [c.27] Очевидно, что в согласии с леммой 3 это решение является функцией t — to. [c.27] Траектории системы (8) проще всего получить, исключая 1 — 1оъ уравнениях (9), т. е. переходя к декартовым координатам. [c.27] О прп i +00, а если а О, 6 О, то при 1 —оо. [c.28] Если особых линий нет, то для того, чтобы наметить направление на траекториях, достаточно наметить направление в какой-либо одной точке. Тогда во всех других точках направление определяется из соображений непрерывности. Определить же направление в какой-либо точке (хо, уц), Б которой Р Х(,, Уо) Ф О, можно, вычисляя в этой точке Р хо, Уо) и определяя в стой точке знак Р(хо, уо) если Р хо, уо) 0, то в точке (ха, уо) (1x1(11 о, а значит вблизи этой точки при движении по траектории в сторону возрастания г —х возрастает, что и определяет направления на траектории, проходящей через точку (хд, уо). Совершенно аналогично можно наметить направления на траекториях, рассматривая знак Q xo, уо) в точке, в которой Q xo, Уо) Ф 0. [c.28] Уравнение (16) дает, очевидно, все траектории системы (12), Если ро= 0, эти траектории являются логарифмическинш спиралями. При Ро = О получается состояние равновесия 0(0, 0). [c.31] Первое из этих соотношений является общим интегралом системы (в смысле 10) во всякой области, не содержащей точек оси,а (т. е. точек а = 0), а второе — во всякой области, не содержащей точек оси у = 0. Однако ни одно из этих соотношений не является в строгом смысле слова общим интегралом системы в области, содержащей точку О. Целую интегральную кривую. [c.31] Траекториями системы, очевидно, являются состояние равновесия 0(0, 0) и замкнутые траектории — концентрические окружности с центром в начале (рис. 11). Решения (20), соответствующие замкнутым траекториям — окружностям, являются периодическими функциями с периодом 2я. [c.32] Интегральными кривыми в трехмерном пространстве х, у, t) являются ось t и винтовые линии, расположенные на круглых цилиндрах с направляющими (21). Шаг каждой винтовой линии равен 2л. [c.32] Точка 0(0, 0)— состояние равновесия. [c.33] Из выражений (23) очевидно, что траектории, являющиеся полупрямыми оси л (получающиеся из (23) при г/о = 0), стремятся к состоянию равновесия при I + , а траектории, являющиеся полупрямыми оси у,— при I —оо. Других траекторий, стремящихся к состоянию равновесия О, система не имеет. [c.33] Состояние равновесия такого типа, как у данной системы, называется седлом Траектории, стремящиеся к седлу О, в данном случае четыре полуоси л = О и г/ = О, называются сепаратрисами седла. [c.33] Рассмотрение интегральных кривых системы (22) в пространстве х, у, I) аналогично приведенному в предыдущих примерах, и мы его опускаем. [c.34] Вернуться к основной статье