ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные теоремы Автономная динамическая система на плоскости из "Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости " Второе издание с незначительными изменениями восироизво-дит текст первого издания. Несколько расширена информация, касающаяся теоретической части книги — понятий, получивших широкое распространение в математической литературе (устойчивость по Ляпунову, коразмерность, нормальные формы). Существенно изменен раздел, посвященный предельным циклам квадратичного дифференциального уравнения. Обсуждается число и. расположение предельных циклов. Выделены некоторые области существования квадратичных дифференциальных уравнений с двумя, тремя и четырьмя предельными циклами. [c.8] В Дополнении обсуждается роль и значение понятий, введенных для динамических систем на плоскости, при переходе к рассмотрению динамических систем более высокого порядка или динамических систем на поверхностях, к рассмотрению которых естественно сводятся уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Авторы выражают благодарность Д. В. Аносову за многочисленные полезные замечания, использованные при подготовке второго издания. [c.8] Настоящая книга имеет своей целью во-первых, ознакомить читателя с основными фактами качественной теории динамических систем на плоскости, причем главным образом с теорией бифуркаций таких систем, во-вторых, указать роль теории бифуркаций при объяснении целого ряда нелинейных эффектов в реальных системах, и, в-третьих, продемонстрировать на ряде динамических систем из приложений роль теории бифуркаций прп качественном исследовании конкретных систем. [c.9] Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, созданная А. А. Андроновым (при сотрудничестве с его учениками), — естественная и прозрачная по своей идейной стороне — представляется имеющей большое математическое значение и большое значение для приложений. Между тем теория бифуркаций динамических систем мало известна как математикам, так и лицам, занимающимся прикладными вопросами, хотя качественная теория завоевывает все новые области естествознания. [c.9] В то же время качественное исследование приведенных в книге конкретных динамических систем дано в основном в подробном изложении. [c.9] В заключение — о терминологии. В настоящее время в математической литературе становится также употребительной терминология, отличная от той классической, которая используется в настоящей книге. Так, например, вместо терминов система дифференциальных уравнений или динамическая система для многомерных динамических систем или систем на многообразиях часто используется термин поток (см., например, [111]). Однако, во-первых, в настоящей книге рассматриваются лишь системы на плоскости и, во-вторых, материал этой книги тесно связан с литературой прикладного направления (например, [3]), использующей классическую терминологию. Поэтому авторы не используют также термины диффеоморфизм , сечение и др., ставшие распространенными в современной математической литературе. [c.10] ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ НА ПЛОСКОСТИ. [c.11] В настоящей книге рассматривается случай, когда Р х, у) и Q(x, у) являются аналитическими функциями (т. е. Р х, у) и Q(x, у) в окрестности всякой точки М(х, у)—области определения динамической системы G — могут быть разложены в сходящиеся ряды по степеням х ж у) ). [c.12] Система (А) является частным случаем системы (III), правые части ее не содержат явно t, в силу чего как область пространства (х, у, t), ъ которой должны рассматрпваться ее правые части, так п решения этой системы обладают некоторыми частными свойствами. [c.12] Пусть G — область плоскости (х, у) (в частности, могущая совпадать со всей плоскостью х, у)), в которой определены функции Р х, у) и Q(x, у). Тогда правые части системы (А), рассматриваемые как функции X, у, t, определены в области R пространства (х, у, t) (х, у, t — декартовы координаты), состоящей из всевозможных точек М х, у, t), у которых t может быть любым, а X 11 у таковы, что точка с этими координатами принадлежит области G плоскости (х, у). Область R является, следовательно, бесконечной цилиндрической областью, образованной прямыми, параллельными оси t, пересекающими плоскость в точках области G ). [c.12] Вернуться к основной статье