ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Добавление 14. Об эллиптических координатах из "Математические методы классической механики " С каждым эллипсоидом в конечномерном евклидовом пространстве связаны эллиптические координаты Якоби, с помощью которых интегрируются уравнения геодезических на этом эллипсоиде, а также некоторые другие уравнения, например уравнения движения точки на сфере под действием сил с квадратичным потенциалом или тяжелой точки на параболоиде. [c.435] Это наводит на мысль, что и в бесконечномерном, гильбертовом пространстве с каждым симметрическим оператором должен быть связан свой класс интегрируемых систем. Для исследования этих систем нужно перенести на бесконечномерный случай теорию эллиптических координат. А для этого нужно прежде всего изложить обычную конечномерную теорию конфокальных поверхностей второго порядка в бескоординатной форме. [c.435] Для перехода к бесконечномерному случаю нужно всюду заменить симметрические операторы в евклидовом конечномерном пространстве самосопряженными в гильбертовом. При зтом, поскольку эллиптические координаты связаны не с самим оператором, а с его резольвентой, неограниченность исходного оператора (который может, например, быть дифференциальным) не является слишком серьезным препятствием. [c.435] В некоторых случаях получаемые таким образом эллиптические координаты в гильбертовом пространстве образуют счетный набор. Однако возможен и случай непрерывного спектра, когда набор координат получается континуальным. В этом случае переход от исходной точки гильбертова (скажем, функционального) пространства к континуальному набору эллиптических координат этой точки может рассматриваться как нелинейное преобразование функционального пространства. Это преобразование, по аналогии с преобразованием Фурье, можно назвать преобразованием Якоби исходной функции сопоставляется функция, выражающая зависимость континуальной эллиптической координаты от ее номера (т. е. номера на оси спектрального параметра). Вероятно, исследование функционально-аналитических свойств прямого и обратного преобразований Якоби — дело не слишком далекого будущего. [c.435] Наряду с общей теорией эллиптических координат ниже обсуждаются некоторые их применения в теории потенциала. [c.435] Эллиптические координаты и конфокальные квадрика. [c.436] Эллиптические координаты в евклидовом пространстве определяются при помощи конфокальных квадрик (поверхностей второй степени). Геометрия же конфокальных квадрик получается из геометрии пучка квадратичных форм в евклидовом пространстве (т. е. из теории главных осей эллипсоидов или из теории малых колебаний) переходом в сопряженное пространство. [c.436] Таким образом, конфокальные друг другу квадрики образуют однопараметрическое семейство, но от параметра квадратичная форма семейства зависит уже не линейно. [c.436] Пример. Плоские кривые, конфокальные фиксированному эллипсу,— это все эллипсы и гиперболы с теми же фокусами. [c.436] На рис. 248 слева изображены кривые одного конфокального-семейства, а справа — кривые соответствующего евклидова пучка. [c.437] Эллиптическими координатами точки называются значения параметра Я, которым соответствуют проходящие через эту точку квадрики фиксированного семейства конфокальных квадрик. [c.437] Теорема 1 (Якоби). Через каждую точку п-мерного евклидова пространства проходит п квадрик, конфокальных выбранному зллипсоиду. Гладкие конфокальные квадрики пересекаются под прямыми углами. [c.437] В терминах двойственного пространства теорема 1 означает, что всякая гиперплоскость, не проходящая через О в п-мерном евклидовом пространстве, касается ровно п квадрик евклидова пучка, причем векторы, ведущие из О в точки касания, попарно ортогональны (рис. 248 справа). [c.437] Доказательство. Спроектируем квадрики конфокального семейства пучком параллельных прямых на перпендикулярную пучку гиперплоскость. Каждая квадрика определяет видимый онтур (множество критических значений проектирования квадрики). Для направления проектирования общего положения видимые контуры квадрик — это поверхности второй степени в гиперплоскости — образе проектирования. [c.438] Видимые контуры квадрик конфокального семейства сами образуют конфокальное семейство квадрик. [c.438] Доказательство. Переход к двойственным объектам превращает сечения в проекции, а проекции в сечения. Видимые контуры проектирования конфокальных квадрик пзп1ком параллельных прямых двойственны поэтому сечениям двойственных квадрик проходящей через нуль гиперплоскостью. [c.438] Но сечения квадрик евклидова пучка гиперплоскостью, проходящей через О, образуют евклидов пучок квадрик в этой гиперплоскости. По двойственности отсюда следует лемма. [c.438] Применим доказанную лемму к проектированию вдоль прямой, о которой идет речь в теореме 2. По лемме видимые контуры проектирования конфокальных квадрик теоремы 2 образуют конфокальное семейство квадрик в гиперплоскости. По теореме 1 эти видимые контуры пересекаются под прямыми углами. Это доказывает теорему 2. [c.438] Теорема 3 (Якоби и Шаля). Касательные прямые к геодезической линии квадрики в п-мерном пространстве, проведенные во всех точках геодезической, касаются, кроме зтой квадрики, еще п—2-х конфокальные с ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической. [c.438] Вернуться к основной статье