ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Добавление 13. Пуассоновы структуры из "Математические методы классической механики " Лагранжевы особенности — это особенности проекций лагранжевых многообразий на конфигурационное пространство. Такие особенности встречаются при исследовании решений уравнения Гамильтона — Якоби в целом, при изучении каустик, фокальных или сопряженных точек, при анализе распространения разрывов и ударных волн в механике сплошной среды, а также в задачах, приводящих к коротковолновой асимптотике (см. добавление И). [c.415] Чтобы описать лагранжевы особенности, нужно вначале сказать несколько слов об особенностях гладких отображений вообще. Начнем с простейших примеров. [c.415] Особенности гладких отображений поверхности на плоскость. Отображение проектирования сферы на плоскость имеет особенность на экваторе сферы (в точках экватора ранг производной падает на единицу). В результате на плоскости проекции образуется кривая (так называемый видимый контур), разграничивающая области с разным числом прообразов точки у каждой точки плоскости внутри видимого контура два прообраза, а вне — ни одного. [c.415] В более сложных случаях видимый контур может иметь более сложные особенности. Рассмотрим, например, поверхность. [c.415] Такая кривая разделяет плоскость на две части меньшую (внутри острия) и большую (вне). Над каждой точкой меньшей части имеются три точки нашей поверхности, а большей — всего одна. [c.416] Рассмотрим теперь любую малую деформацию нашей поверхности. Оказывается, при проектировании всякой поверхности, близкой к нашей, видимый контур всегда будет иметь подобную же особенность (полукубическое острие) в некоторой точке, близкой к особенности видимого контура исходной поверхности. Иными словами, рассматриваемая особенность неустранима малым шевелением поверхности. [c.416] Более того, вместо деформации поверхности можно как угодно деформировать само отображение поверхности на плоскость (не заботясь более, чтобы оно было проектированием), лишь бы оно оставалось гладким и деформация была мала. Оказывается, и при таких деформациях острие не исчезает, а лишь слегка деформируется. [c.416] Приведенные здесь примеры исчерпывают все типичные особенности отображений поверхности на плоскость. Можно показать, что все более сложные особенности устранимы мальш шевелением. Позтому, слегка продеформировав любое гладкое отображение. можно всегда добиться того, что в окрестности любой точки отображаемой поверхности оно будет либо неособым, либо будет устроено как отображение проектирования сферы на плоскость близ экватора, либо как отображение проектирования рассмотренной выше поверхности с кубическим острием на видимом контуре. [c.416] Левин Г., Мазер Дж. и др. Особенности дифференцируемых отображений.— М. Мир, 1968. [c.417] Особенности проектирования лагранжевых многообразий. [c.417] Рассмотрим теперь тг-мерное конфигурационное многообразие соответствующее 2тг-мерное фазовое пространство и в нем тг-мерное лагранжево подмногообразие (т. е. тг-мерное подмногообразие, на котором 2-форма, задающая симплектическую структуру фазового пространства, равна тождественно нулю). [c.417] Проектируя лагранжево многообразие на конфигурационное пространство, мы получаем отображение одного гладкого тг-мер-ного многообразия на другое той же размерности. [c.417] В общей точке это отображение является локальным диффеоморфизмом, однако в некоторых точках лагранжева многообразия ранг дифференциала падает. Такие точки называются особыми. При проекции лшожества особых точек в конфигурационном пространстве образуется видимый контур , который в лагранжевом случае называется каустикой. [c.417] Каустики могут иметь сложные особенности, однако, как и в обычной теории особенностей гладких отображений, от слишком сложных особенностей можно избавиться малым шевелением. (Здесь под малым шевелением подразумевается такая малая деформация лагранжева многообразия в фазовом пространстве, при которой это многообразие остается лагранжевым). [c.417] После зтого останутся лишь простейшие неустранимые особенности, для которых можно выписать нормальные формы и которые можно раз навсегда подробно изучить. При рассмотрении задач общего положения, не обладающих какими-либо специальными свойствами симметрии, естественно ожидать появления лишь этих простейших неустранимых особенностей. [c.417] СТИ (полукубические острия), а более сложные особенности появляются лишь при специальных, исключительных положениях источника. [c.418] Ниже приведены нормальные формы для особенностей проектирования тг-мерного лагранжева подмногообразия из 2тг-мерного фазового пространства на тг-мерное конфигурационное пространство для и 5. Этих нормальных форм конечное число, и их классификация связана (довольно загадочным образом) с классификациями простых групп Ли, простейших вырожденных критических точек функций, правильных многогранников и многих других объектов. При тг 6 нормальные формы некоторых особенностей неизбежно должны содержать параметры. [c.418] За дальнейшими подробностями читатель отсылается к статье Арнольд В. И. Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля А , Ец и лагранжевы особенности // Функциональный анализ и его приложения.— 1972.— Т. 6, 4.— С. 3—25. [c.418] При таких обозначениях одно и то же выражение Р р1, д ) может рассматриваться как задающее лагранжево многообразие в пространствах разного числа измерений мы можем дописать сколько угодно аргументов д,, от которых Р на самом деле не зависит. [c.418] Вернуться к основной статье